Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumcnsrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumcnsrcl 37244
 Description: Finite sums are closed in number rings. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcnsrcl.s (𝜑𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
fsumcnsrcl.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumcnsrcl.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
Assertion
Ref Expression
fsumcnsrcl (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵𝑆)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝐴,𝑘   𝑆,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcnsrcl
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumcnsrcl.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld))
2 cnfldbas 19678 . . . 4 ℂ = (Base‘ℂfld)
32subrgss 18709 . . 3 (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑆 ⊆ ℂ)
41, 3syl 17 . 2 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
5 cnfldadd 19679 . . . . 5 + = (+g‘ℂfld)
65subrgacl 18719 . . . 4 ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝑎𝑆𝑏𝑆) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑆)
763expb 1263 . . 3 ((𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑆)
81, 7sylan 488 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑆)
9 fsumcnsrcl.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
10 fsumcnsrcl.b . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
11 subrgsubg 18714 . . 3 (𝑆 ∈ (SubRing‘ℂfld) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
12 cnfld0 19698 . . . 4 0 = (0g‘ℂfld)
1312subg0cl 17530 . . 3 (𝑆 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 0 ∈ 𝑆)
141, 11, 133syl 18 . 2 (𝜑 → 0 ∈ 𝑆)
154, 8, 9, 10, 14fsumcllem 14403 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1987   ⊆ wss 3559  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610  Fincfn 7906  ℂcc 9885  0cc0 9887   + caddc 9890  Σcsu 14357  SubGrpcsubg 17516  SubRingcsubrg 18704  ℂfldccnfld 19674 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965  ax-addf 9966  ax-mulf 9967 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-sup 8299  df-oi 8366  df-card 8716  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-rp 11784  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-seq 12749  df-exp 12808  df-hash 13065  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-clim 14160  df-sum 14358  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-starv 15884  df-tset 15888  df-ple 15889  df-ds 15892  df-unif 15893  df-0g 16030  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-grp 17353  df-subg 17519  df-cmn 18123  df-mgp 18418  df-ring 18477  df-cring 18478  df-subrg 18706  df-cnfld 19675 This theorem is referenced by:  cnsrplycl  37245
 Copyright terms: Public domain W3C validator