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Theorem fsumcube 14711
Description: Express the sum of cubes in closed terms. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
fsumcube (𝑇 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑇)(𝑘↑3) = (((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) / 4))
Distinct variable group:   𝑇,𝑘

Proof of Theorem fsumcube
StepHypRef Expression
1 3nn0 11255 . . 3 3 ∈ ℕ0
2 fsumkthpow 14707 . . 3 ((3 ∈ ℕ0𝑇 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑇)(𝑘↑3) = ((((3 + 1) BernPoly (𝑇 + 1)) − ((3 + 1) BernPoly 0)) / (3 + 1)))
31, 2mpan 705 . 2 (𝑇 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑇)(𝑘↑3) = ((((3 + 1) BernPoly (𝑇 + 1)) − ((3 + 1) BernPoly 0)) / (3 + 1)))
4 df-4 11026 . . . . . 6 4 = (3 + 1)
54oveq1i 6615 . . . . 5 (4 BernPoly (𝑇 + 1)) = ((3 + 1) BernPoly (𝑇 + 1))
64oveq1i 6615 . . . . 5 (4 BernPoly 0) = ((3 + 1) BernPoly 0)
75, 6oveq12i 6617 . . . 4 ((4 BernPoly (𝑇 + 1)) − (4 BernPoly 0)) = (((3 + 1) BernPoly (𝑇 + 1)) − ((3 + 1) BernPoly 0))
87, 4oveq12i 6617 . . 3 (((4 BernPoly (𝑇 + 1)) − (4 BernPoly 0)) / 4) = ((((3 + 1) BernPoly (𝑇 + 1)) − ((3 + 1) BernPoly 0)) / (3 + 1))
9 nn0cn 11247 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ ℕ0𝑇 ∈ ℂ)
10 peano2cn 10153 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ ℂ → (𝑇 + 1) ∈ ℂ)
119, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ ℕ0 → (𝑇 + 1) ∈ ℂ)
12 bpoly4 14710 . . . . . . 7 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → (4 BernPoly (𝑇 + 1)) = (((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)))
1311, 12syl 17 . . . . . 6 (𝑇 ∈ ℕ0 → (4 BernPoly (𝑇 + 1)) = (((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)))
14 4nn 11132 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℕ
15 0exp 12832 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 ∈ ℕ → (0↑4) = 0)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (0↑4) = 0
17 3nn 11131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℕ
18 0exp 12832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 ∈ ℕ → (0↑3) = 0)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0↑3) = 0
2019oveq2i 6616 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · (0↑3)) = (2 · 0)
21 2t0e0 11128 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · 0) = 0
2220, 21eqtri 2648 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · (0↑3)) = 0
2316, 22oveq12i 6617 . . . . . . . . . . . 12 ((0↑4) − (2 · (0↑3))) = (0 − 0)
24 0m0e0 11075 . . . . . . . . . . . 12 (0 − 0) = 0
2523, 24eqtri 2648 . . . . . . . . . . 11 ((0↑4) − (2 · (0↑3))) = 0
26 sq0 12892 . . . . . . . . . . 11 (0↑2) = 0
2725, 26oveq12i 6617 . . . . . . . . . 10 (((0↑4) − (2 · (0↑3))) + (0↑2)) = (0 + 0)
28 00id 10156 . . . . . . . . . 10 (0 + 0) = 0
2927, 28eqtri 2648 . . . . . . . . 9 (((0↑4) − (2 · (0↑3))) + (0↑2)) = 0
3029oveq1i 6615 . . . . . . . 8 ((((0↑4) − (2 · (0↑3))) + (0↑2)) − (1 / 30)) = (0 − (1 / 30))
31 0cn 9977 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℂ
32 bpoly4 14710 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℂ → (4 BernPoly 0) = ((((0↑4) − (2 · (0↑3))) + (0↑2)) − (1 / 30)))
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . 8 (4 BernPoly 0) = ((((0↑4) − (2 · (0↑3))) + (0↑2)) − (1 / 30))
34 df-neg 10214 . . . . . . . 8 -(1 / 30) = (0 − (1 / 30))
3530, 33, 343eqtr4i 2658 . . . . . . 7 (4 BernPoly 0) = -(1 / 30)
3635a1i 11 . . . . . 6 (𝑇 ∈ ℕ0 → (4 BernPoly 0) = -(1 / 30))
3713, 36oveq12d 6623 . . . . 5 (𝑇 ∈ ℕ0 → ((4 BernPoly (𝑇 + 1)) − (4 BernPoly 0)) = ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) − -(1 / 30)))
38 4nn0 11256 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℕ0
39 expcl 12815 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 + 1) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → ((𝑇 + 1)↑4) ∈ ℂ)
4038, 39mpan2 706 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑4) ∈ ℂ)
41 2cn 11036 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
42 expcl 12815 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 + 1) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℕ0) → ((𝑇 + 1)↑3) ∈ ℂ)
431, 42mpan2 706 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑3) ∈ ℂ)
44 mulcl 9965 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℂ ∧ ((𝑇 + 1)↑3) ∈ ℂ) → (2 · ((𝑇 + 1)↑3)) ∈ ℂ)
4541, 43, 44sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → (2 · ((𝑇 + 1)↑3)) ∈ ℂ)
4640, 45subcld 10337 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) ∈ ℂ)
47 sqcl 12862 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑2) ∈ ℂ)
4846, 47addcld 10004 . . . . . . . . 9 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → ((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) ∈ ℂ)
4910, 48syl 17 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ ℂ → ((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) ∈ ℂ)
509, 49syl 17 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ ℕ0 → ((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) ∈ ℂ)
51 0nn0 11252 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℕ0
521, 51deccl 11456 . . . . . . . . 9 30 ∈ ℕ0
5352nn0cni 11249 . . . . . . . 8 30 ∈ ℂ
5452nn0rei 11248 . . . . . . . . 9 30 ∈ ℝ
55 10pos 11459 . . . . . . . . . 10 0 < 10
5617, 51, 51, 55declti 11490 . . . . . . . . 9 0 < 30
5754, 56gt0ne0ii 10509 . . . . . . . 8 30 ≠ 0
5853, 57reccli 10700 . . . . . . 7 (1 / 30) ∈ ℂ
59 subcl 10225 . . . . . . 7 ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) ∈ ℂ ∧ (1 / 30) ∈ ℂ) → (((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) ∈ ℂ)
6050, 58, 59sylancl 693 . . . . . 6 (𝑇 ∈ ℕ0 → (((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) ∈ ℂ)
61 subneg 10275 . . . . . 6 (((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) ∈ ℂ ∧ (1 / 30) ∈ ℂ) → ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) − -(1 / 30)) = ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) + (1 / 30)))
6260, 58, 61sylancl 693 . . . . 5 (𝑇 ∈ ℕ0 → ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) − -(1 / 30)) = ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) + (1 / 30)))
63 npcan 10235 . . . . . . . 8 ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) ∈ ℂ ∧ (1 / 30) ∈ ℂ) → ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) + (1 / 30)) = ((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)))
6449, 58, 63sylancl 693 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ ℂ → ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) + (1 / 30)) = ((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)))
659, 64syl 17 . . . . . 6 (𝑇 ∈ ℕ0 → ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) + (1 / 30)) = ((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)))
66 2p2e4 11089 . . . . . . . . . . 11 (2 + 2) = 4
6766eqcomi 2635 . . . . . . . . . 10 4 = (2 + 2)
6867oveq2i 6616 . . . . . . . . 9 ((𝑇 + 1)↑4) = ((𝑇 + 1)↑(2 + 2))
69 df-3 11025 . . . . . . . . . . 11 3 = (2 + 1)
7069oveq2i 6616 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 + 1)↑3) = ((𝑇 + 1)↑(2 + 1))
7170oveq2i 6616 . . . . . . . . 9 (2 · ((𝑇 + 1)↑3)) = (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)))
7268, 71oveq12i 6617 . . . . . . . 8 (((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) = (((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) − (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1))))
7372oveq1i 6615 . . . . . . 7 ((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) = ((((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) − (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)))) + ((𝑇 + 1)↑2))
74 2nn0 11254 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ0
75 expadd 12839 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) = (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
7674, 74, 75mp3an23 1413 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) = (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
77 1nn0 11253 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ0
78 expadd 12839 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑇 + 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)) = (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))
7974, 77, 78mp3an23 1413 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)) = (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))
8079oveq2d 6621 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1))) = (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1))))
8176, 80oveq12d 6623 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 + 1) ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) − (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)))) = ((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))))
8210, 81syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) − (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)))) = ((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))))
8310sqcld 12943 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑2) ∈ ℂ)
8483mulid1d 10002 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) · 1) = ((𝑇 + 1)↑2))
8584eqcomd 2632 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑2) = (((𝑇 + 1)↑2) · 1))
8682, 85oveq12d 6623 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ ℂ → ((((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) − (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)))) + ((𝑇 + 1)↑2)) = (((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))) + (((𝑇 + 1)↑2) · 1)))
8710exp1d 12940 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑1) = (𝑇 + 1))
8887oveq2d 6621 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ ℂ → (2 · ((𝑇 + 1)↑1)) = (2 · (𝑇 + 1)))
8988oveq2d 6621 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) · (2 · ((𝑇 + 1)↑1))) = (((𝑇 + 1)↑2) · (2 · (𝑇 + 1))))
9089oveq2d 6621 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℂ → ((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (((𝑇 + 1)↑2) · (2 · ((𝑇 + 1)↑1)))) = ((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (((𝑇 + 1)↑2) · (2 · (𝑇 + 1)))))
9187, 10eqeltrd 2704 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑1) ∈ ℂ)
92 mul12 10147 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℂ ∧ ((𝑇 + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝑇 + 1)↑1) ∈ ℂ) → (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1))) = (((𝑇 + 1)↑2) · (2 · ((𝑇 + 1)↑1))))
9341, 83, 91, 92mp3an2i 1426 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ ℂ → (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1))) = (((𝑇 + 1)↑2) · (2 · ((𝑇 + 1)↑1))))
9493oveq2d 6621 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℂ → ((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))) = ((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (((𝑇 + 1)↑2) · (2 · ((𝑇 + 1)↑1)))))
95 mulcl 9965 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑇 + 1) ∈ ℂ) → (2 · (𝑇 + 1)) ∈ ℂ)
9641, 10, 95sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ ℂ → (2 · (𝑇 + 1)) ∈ ℂ)
9783, 83, 96subdid 10431 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) · (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1)))) = ((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (((𝑇 + 1)↑2) · (2 · (𝑇 + 1)))))
9890, 94, 973eqtr4d 2670 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ ℂ → ((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))) = (((𝑇 + 1)↑2) · (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1)))))
9998oveq1d 6620 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ ℂ → (((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))) + (((𝑇 + 1)↑2) · 1)) = ((((𝑇 + 1)↑2) · (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1)))) + (((𝑇 + 1)↑2) · 1)))
10083, 96subcld 10337 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) ∈ ℂ)
101 ax-1cn 9939 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
102 adddi 9970 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑇 + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑇 + 1)↑2) · ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1)) = ((((𝑇 + 1)↑2) · (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1)))) + (((𝑇 + 1)↑2) · 1)))
103101, 102mp3an3 1410 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑇 + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) ∈ ℂ) → (((𝑇 + 1)↑2) · ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1)) = ((((𝑇 + 1)↑2) · (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1)))) + (((𝑇 + 1)↑2) · 1)))
10483, 100, 103syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) · ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1)) = ((((𝑇 + 1)↑2) · (((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1)))) + (((𝑇 + 1)↑2) · 1)))
10599, 104eqtr4d 2663 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ ℂ → (((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))) + (((𝑇 + 1)↑2) · 1)) = (((𝑇 + 1)↑2) · ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1)))
106 adddi 9970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑇 + 1)) = ((2 · 𝑇) + (2 · 1)))
10741, 101, 106mp3an13 1412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ ℂ → (2 · (𝑇 + 1)) = ((2 · 𝑇) + (2 · 1)))
108 2t1e2 11121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 · 1) = 2
109108oveq2i 6616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 · 𝑇) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑇) + 2)
110107, 109syl6eq 2676 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ ℂ → (2 · (𝑇 + 1)) = ((2 · 𝑇) + 2))
111110oveq1d 6620 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ ℂ → ((2 · (𝑇 + 1)) − 1) = (((2 · 𝑇) + 2) − 1))
112 mulcl 9965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (2 · 𝑇) ∈ ℂ)
11341, 112mpan 705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∈ ℂ → (2 · 𝑇) ∈ ℂ)
114 addsubass 10236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((2 · 𝑇) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑇) + 2) − 1) = ((2 · 𝑇) + (2 − 1)))
11541, 101, 114mp3an23 1413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 · 𝑇) ∈ ℂ → (((2 · 𝑇) + 2) − 1) = ((2 · 𝑇) + (2 − 1)))
116113, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 ∈ ℂ → (((2 · 𝑇) + 2) − 1) = ((2 · 𝑇) + (2 − 1)))
117 2m1e1 11080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 − 1) = 1
118117oveq2i 6616 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 · 𝑇) + (2 − 1)) = ((2 · 𝑇) + 1)
119116, 118syl6eq 2676 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ ℂ → (((2 · 𝑇) + 2) − 1) = ((2 · 𝑇) + 1))
120111, 119eqtrd 2660 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℂ → ((2 · (𝑇 + 1)) − 1) = ((2 · 𝑇) + 1))
121120oveq2d 6621 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) − ((2 · (𝑇 + 1)) − 1)) = (((𝑇 + 1)↑2) − ((2 · 𝑇) + 1)))
122 subsub 10256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑇 + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ (2 · (𝑇 + 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑇 + 1)↑2) − ((2 · (𝑇 + 1)) − 1)) = ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1))
123101, 122mp3an3 1410 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑇 + 1)↑2) ∈ ℂ ∧ (2 · (𝑇 + 1)) ∈ ℂ) → (((𝑇 + 1)↑2) − ((2 · (𝑇 + 1)) − 1)) = ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1))
12483, 96, 123syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) − ((2 · (𝑇 + 1)) − 1)) = ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1))
125 sqcl 12862 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℂ → (𝑇↑2) ∈ ℂ)
126 peano2cn 10153 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 𝑇) ∈ ℂ → ((2 · 𝑇) + 1) ∈ ℂ)
127113, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℂ → ((2 · 𝑇) + 1) ∈ ℂ)
128 binom21 12917 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑2) = (((𝑇↑2) + (2 · 𝑇)) + 1))
129 addass 9968 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑇↑2) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑇) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑇↑2) + (2 · 𝑇)) + 1) = ((𝑇↑2) + ((2 · 𝑇) + 1)))
130101, 129mp3an3 1410 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑇↑2) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑇) ∈ ℂ) → (((𝑇↑2) + (2 · 𝑇)) + 1) = ((𝑇↑2) + ((2 · 𝑇) + 1)))
131125, 113, 130syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇↑2) + (2 · 𝑇)) + 1) = ((𝑇↑2) + ((2 · 𝑇) + 1)))
132128, 131eqtrd 2660 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ ℂ → ((𝑇 + 1)↑2) = ((𝑇↑2) + ((2 · 𝑇) + 1)))
133125, 127, 132mvrraddd 10390 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) − ((2 · 𝑇) + 1)) = (𝑇↑2))
134121, 124, 1333eqtr3d 2668 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ ℂ → ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1) = (𝑇↑2))
135134oveq2d 6621 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) · ((((𝑇 + 1)↑2) − (2 · (𝑇 + 1))) + 1)) = (((𝑇 + 1)↑2) · (𝑇↑2)))
13683, 125mulcomd 10006 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ ℂ → (((𝑇 + 1)↑2) · (𝑇↑2)) = ((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
137105, 135, 1363eqtrd 2664 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ ℂ → (((((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) − (2 · (((𝑇 + 1)↑2) · ((𝑇 + 1)↑1)))) + (((𝑇 + 1)↑2) · 1)) = ((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
13886, 137eqtrd 2660 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ ℂ → ((((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) − (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)))) + ((𝑇 + 1)↑2)) = ((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
1399, 138syl 17 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ ℕ0 → ((((𝑇 + 1)↑(2 + 2)) − (2 · ((𝑇 + 1)↑(2 + 1)))) + ((𝑇 + 1)↑2)) = ((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
14073, 139syl5eq 2672 . . . . . 6 (𝑇 ∈ ℕ0 → ((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) = ((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
14165, 140eqtrd 2660 . . . . 5 (𝑇 ∈ ℕ0 → ((((((𝑇 + 1)↑4) − (2 · ((𝑇 + 1)↑3))) + ((𝑇 + 1)↑2)) − (1 / 30)) + (1 / 30)) = ((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
14237, 62, 1413eqtrd 2664 . . . 4 (𝑇 ∈ ℕ0 → ((4 BernPoly (𝑇 + 1)) − (4 BernPoly 0)) = ((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)))
143142oveq1d 6620 . . 3 (𝑇 ∈ ℕ0 → (((4 BernPoly (𝑇 + 1)) − (4 BernPoly 0)) / 4) = (((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) / 4))
1448, 143syl5eqr 2674 . 2 (𝑇 ∈ ℕ0 → ((((3 + 1) BernPoly (𝑇 + 1)) − ((3 + 1) BernPoly 0)) / (3 + 1)) = (((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) / 4))
1453, 144eqtrd 2660 1 (𝑇 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑇)(𝑘↑3) = (((𝑇↑2) · ((𝑇 + 1)↑2)) / 4))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1992  (class class class)co 6605  cc 9879  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884   · cmul 9886  cmin 10211  -cneg 10212   / cdiv 10629  cn 10965  2c2 11015  3c3 11016  4c4 11017  0cn0 11237  cdc 11437  ...cfz 12265  cexp 12797  Σcsu 14345   BernPoly cbp 14697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-seq 12739  df-exp 12798  df-fac 12998  df-bc 13027  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-clim 14148  df-sum 14346  df-bpoly 14698
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