MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumcvg3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumcvg3 14400
Description: A finite sum is convergent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcvg3.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
fsumcvg3.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
fsumcvg3.3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumcvg3.4 (𝜑𝐴𝑍)
fsumcvg3.5 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
fsumcvg3.6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumcvg3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem fsumcvg3
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3610 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛) ↔ ∅ ⊆ (𝑀...𝑛)))
21rexbidv 3046 . . 3 (𝐴 = ∅ → (∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)∅ ⊆ (𝑀...𝑛)))
3 fsumcvg3.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑍)
43adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → 𝐴𝑍)
5 fsumcvg3.1 . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
64, 5syl6sseq 3635 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
7 ltso 10069 . . . . . 6 < Or ℝ
8 fsumcvg3.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
98adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Fin)
10 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≠ ∅)
11 uzssz 11658 . . . . . . . . . 10 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
12 zssre 11335 . . . . . . . . . 10 ℤ ⊆ ℝ
1311, 12sstri 3596 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
145, 13eqsstri 3619 . . . . . . . 8 𝑍 ⊆ ℝ
154, 14syl6ss 3599 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ ℝ)
169, 10, 153jca 1240 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ))
17 fisupcl 8326 . . . . . 6 (( < Or ℝ ∧ (𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
187, 16, 17sylancr 694 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
196, 18sseldd 3588 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (ℤ𝑀))
20 fimaxre2 10920 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑛𝐴 𝑛𝑘)
2115, 9, 20syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑛𝐴 𝑛𝑘)
2215, 10, 213jca 1240 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑛𝐴 𝑛𝑘))
23 suprub 10935 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑛𝐴 𝑛𝑘) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
2422, 23sylan 488 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < ))
256sselda 3587 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
2611, 19sseldi 3585 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ)
2726adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘𝐴) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ)
28 elfz5 12283 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )) ↔ 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
2925, 27, 28syl2anc 692 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘𝐴) → (𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )) ↔ 𝑘 ≤ sup(𝐴, ℝ, < )))
3024, 29mpbird 247 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
3130ex 450 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → (𝑘𝐴𝑘 ∈ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))))
3231ssrdv 3593 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
33 oveq2 6618 . . . . . 6 (𝑛 = sup(𝐴, ℝ, < ) → (𝑀...𝑛) = (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < )))
3433sseq2d 3617 . . . . 5 (𝑛 = sup(𝐴, ℝ, < ) → (𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛) ↔ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))))
3534rspcev 3298 . . . 4 ((sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...sup(𝐴, ℝ, < ))) → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
3619, 32, 35syl2anc 692 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
37 fsumcvg3.2 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
38 uzid 11653 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
3937, 38syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
40 0ss 3949 . . . 4 ∅ ⊆ (𝑀...𝑀)
41 oveq2 6618 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑀 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑀))
4241sseq2d 3617 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 → (∅ ⊆ (𝑀...𝑛) ↔ ∅ ⊆ (𝑀...𝑀)))
4342rspcev 3298 . . . 4 ((𝑀 ∈ (ℤ𝑀) ∧ ∅ ⊆ (𝑀...𝑀)) → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)∅ ⊆ (𝑀...𝑛))
4439, 40, 43sylancl 693 . . 3 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)∅ ⊆ (𝑀...𝑛))
452, 36, 44pm2.61ne 2875 . 2 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ (ℤ𝑀)𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
465eleq2i 2690 . . . . . 6 (𝑘𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
47 fsumcvg3.5 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
4846, 47sylan2br 493 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
4948adantlr 750 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
50 simprl 793 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
51 fsumcvg3.6 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5251adantlr 750 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
53 simprr 795 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))
5449, 50, 52, 53fsumcvg2 14398 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛))
55 climrel 14164 . . . 4 Rel ⇝
5655releldmi 5327 . . 3 (seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑛) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
5754, 56syl 17 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐴 ⊆ (𝑀...𝑛))) → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
5845, 57rexlimddv 3029 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  wss 3559  c0 3896  ifcif 4063   class class class wbr 4618   Or wor 4999  dom cdm 5079  cfv 5852  (class class class)co 6610  Fincfn 7906  supcsup 8297  cc 9885  cr 9886  0cc0 9887   + caddc 9890   < clt 10025  cle 10026  cz 11328  cuz 11638  ...cfz 12275  seqcseq 12748  cli 14156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-sup 8299  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-rp 11784  df-fz 12276  df-seq 12749  df-exp 12808  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-clim 14160
This theorem is referenced by:  isumless  14509  radcnv0  24087  fsumcvg4  29796
  Copyright terms: Public domain W3C validator