Theorem fsumdvdscom 25110

Description: A double commutation of divisor sums based on fsumdvdsdiag 25109. Note that 𝐴 depends on both 𝑗 and 𝑘. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumdvdscom.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
fsumdvdscom.2	⊢ (𝑗 = (𝑘 · 𝑚) → 𝐴 = 𝐵)
fsumdvdscom.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑗})) → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumdvdscom	⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑗}𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝐵,𝑗   𝑗,𝑘,𝑚,𝑥,𝑁   𝜑,𝑗,𝑘,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑘,𝑚)

Proof of Theorem fsumdvdscom

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2902	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑢Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑗}𝐴
2		nfcv 2902	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}
3		nfcsb1v 3690	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴
4	2, 3	nfsum 14620	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴
5		breq2 4808	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑢 → (𝑥 ∥ 𝑗 ↔ 𝑥 ∥ 𝑢))
6	5	rabbidv 3329	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑢 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑗} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢})
7		csbeq1a 3683	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑢 → 𝐴 = ⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴)
8	7	adantr 472	. . . 4 ⊢ ((𝑗 = 𝑢 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑗}) → 𝐴 = ⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴)
9	6, 8	sumeq12dv 14636	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑢 → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑗}𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴)
10	1, 4, 9	cbvsumi 14626	. 2 ⊢ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑗}𝐴 = Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴
11		breq2 4808	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑁 / 𝑣) → (𝑥 ∥ 𝑢 ↔ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)))
12	11	rabbidv 3329	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (𝑁 / 𝑣) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)})
13		csbeq1 3677	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑁 / 𝑣) → ⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 = ⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴)
14	13	adantr 472	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 = (𝑁 / 𝑣) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}) → ⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 = ⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴)
15	12, 14	sumeq12dv 14636	. . . 4 ⊢ (𝑢 = (𝑁 / 𝑣) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴)
16		fzfid 12966	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
17		fsumdvdscom.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
18		dvdsssfz1 15242	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ⊆ (1...𝑁))
19	17, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ⊆ (1...𝑁))
20		ssfi 8345	. . . . 5 ⊢ (((1...𝑁) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ⊆ (1...𝑁)) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∈ Fin)
21	16, 19, 20	syl2anc 696	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∈ Fin)
22		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}
23		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧)) = (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧))
24	22, 23	dvdsflip 15241	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧)):{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
25	17, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧)):{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
26		oveq2 6821	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑣 → (𝑁 / 𝑧) = (𝑁 / 𝑣))
27		ovex 6841	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 / 𝑧) ∈ V
28	26, 23, 27	fvmpt3i 6449	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} → ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧))‘𝑣) = (𝑁 / 𝑣))
29	28	adantl 473	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧))‘𝑣) = (𝑁 / 𝑣))
30		fzfid 12966	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (1...𝑢) ∈ Fin)
31		ssrab2 3828	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ⊆ ℕ
32		simpr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
33	31, 32	sseldi 3742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → 𝑢 ∈ ℕ)
34		dvdsssfz1 15242	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢} ⊆ (1...𝑢))
35	33, 34	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢} ⊆ (1...𝑢))
36		ssfi 8345	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝑢) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢} ⊆ (1...𝑢)) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢} ∈ Fin)
37	30, 35, 36	syl2anc 696	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢} ∈ Fin)
38		fsumdvdscom.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑗})) → 𝐴 ∈ ℂ)
39	38	ralrimivva 3109	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑗}𝐴 ∈ ℂ)
40		nfv 1992	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑢∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑗}𝐴 ∈ ℂ
41	3	nfel1 2917	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ
42	2, 41	nfral 3083	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ
43	7	eleq1d 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑢 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ))
44	6, 43	raleqbidv 3291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑢 → (∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑗}𝐴 ∈ ℂ ↔ ∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ))
45	40, 42, 44	cbvral 3306	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑗}𝐴 ∈ ℂ ↔ ∀𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)
46	39, 45	sylib 208	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)
47	46	r19.21bi 3070	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → ∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)
48	47	r19.21bi 3070	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}) → ⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)
49	37, 48	fsumcl 14663	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)
50	15, 21, 25, 29, 49	fsumf1o 14653	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴)
51	13	eleq1d 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑁 / 𝑣) → (⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ))
52	12, 51	raleqbidv 3291	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑁 / 𝑣) → (∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ ↔ ∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ))
53	46	adantr 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → ∀𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)
54		dvdsdivcl 15240	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝑣) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
55	17, 54	sylan 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝑣) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
56	52, 53, 55	rspcdva 3455	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → ∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)
57	56	r19.21bi 3070	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}) → ⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)
58	57	anasss 682	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)})) → ⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)
59	17, 58	fsumdvdsdiag 25109	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴)
60		oveq2 6821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚) → (𝑁 / 𝑣) = (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)))
61	60	csbeq1d 3681	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚) → ⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴 = ⦋(𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) / 𝑗⦌𝐴)
62		fzfid 12966	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (1...(𝑁 / 𝑘)) ∈ Fin)
63		dvdsdivcl 15240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
64	31, 63	sseldi 3742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝑘) ∈ ℕ)
65	17, 64	sylan 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝑘) ∈ ℕ)
66		dvdsssfz1 15242	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 / 𝑘) ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ⊆ (1...(𝑁 / 𝑘)))
67	65, 66	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ⊆ (1...(𝑁 / 𝑘)))
68		ssfi 8345	. . . . . . 7 ⊢ (((1...(𝑁 / 𝑘)) ∈ Fin ∧ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ⊆ (1...(𝑁 / 𝑘))) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ∈ Fin)
69	62, 67, 68	syl2anc 696	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ∈ Fin)
70		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}
71		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ↦ ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧)) = (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ↦ ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧))
72	70, 71	dvdsflip 15241	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 / 𝑘) ∈ ℕ → (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ↦ ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧)):{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)})
73	65, 72	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ↦ ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧)):{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)})
74		oveq2 6821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑚 → ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧) = ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚))
75		ovex 6841	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧) ∈ V
76	74, 71, 75	fvmpt3i 6449	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} → ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ↦ ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧))‘𝑚) = ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚))
77	76	adantl 473	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ↦ ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧))‘𝑚) = ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚))
78	17	fsumdvdsdiaglem 25108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)})))
79	58	ex 449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}) → ⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ))
80	78, 79	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → ⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ))
81	80	impl 651	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → ⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)
82	61, 69, 73, 77, 81	fsumf1o 14653	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → Σ𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}⦋(𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) / 𝑗⦌𝐴)
83		ovexd 6843	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) ∈ V)
84		nncn 11220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
85		nnne0 11245	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
86	84, 85	jca 555	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
87	17, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
88	87	ad2antrr 764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
89	88	simpld 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → 𝑁 ∈ ℂ)
90		elrabi 3499	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} → 𝑘 ∈ ℕ)
91	90	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → 𝑘 ∈ ℕ)
92	91	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → 𝑘 ∈ ℕ)
93		nncn 11220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
94		nnne0 11245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
95	93, 94	jca 555	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0))
96	92, 95	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0))
97		elrabi 3499	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} → 𝑚 ∈ ℕ)
98	97	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → 𝑚 ∈ ℕ)
99		nncn 11220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
100		nnne0 11245	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ≠ 0)
101	99, 100	jca 555	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0))
102	98, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0))
103		divdiv1 10928	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0)) → ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚) = (𝑁 / (𝑘 · 𝑚)))
104	89, 96, 102, 103	syl3anc 1477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚) = (𝑁 / (𝑘 · 𝑚)))
105	104	oveq2d 6829	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) = (𝑁 / (𝑁 / (𝑘 · 𝑚))))
106		nnmulcl 11235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑘 · 𝑚) ∈ ℕ)
107	91, 97, 106	syl2an 495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑘 · 𝑚) ∈ ℕ)
108		nncn 11220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 · 𝑚) ∈ ℕ → (𝑘 · 𝑚) ∈ ℂ)
109		nnne0 11245	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 · 𝑚) ∈ ℕ → (𝑘 · 𝑚) ≠ 0)
110	108, 109	jca 555	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 · 𝑚) ∈ ℕ → ((𝑘 · 𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝑘 · 𝑚) ≠ 0))
111	107, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → ((𝑘 · 𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝑘 · 𝑚) ≠ 0))
112		ddcan 10931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ ((𝑘 · 𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝑘 · 𝑚) ≠ 0)) → (𝑁 / (𝑁 / (𝑘 · 𝑚))) = (𝑘 · 𝑚))
113	88, 111, 112	syl2anc 696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑁 / (𝑁 / (𝑘 · 𝑚))) = (𝑘 · 𝑚))
114	105, 113	eqtrd 2794	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) = (𝑘 · 𝑚))
115	114	eqeq2d 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑗 = (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) ↔ 𝑗 = (𝑘 · 𝑚)))
116	115	biimpa 502	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) ∧ 𝑗 = (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚))) → 𝑗 = (𝑘 · 𝑚))
117		fsumdvdscom.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑘 · 𝑚) → 𝐴 = 𝐵)
118	116, 117	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) ∧ 𝑗 = (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚))) → 𝐴 = 𝐵)
119	83, 118	csbied 3701	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → ⦋(𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) / 𝑗⦌𝐴 = 𝐵)
120	119	sumeq2dv 14632	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}⦋(𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}𝐵)
121	82, 120	eqtrd 2794	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → Σ𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}𝐵)
122	121	sumeq2dv 14632	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}𝐵)
123	50, 59, 122	3eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}𝐵)
124	10, 123	syl5eq 2806	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑗}𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  {crab 3054  Vcvv 3340  ⦋csb 3674   ⊆ wss 3715   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  –1-1-onto→wf1o 6048  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  Fincfn 8121  ℂcc 10126  0cc0 10128  1c1 10129   · cmul 10133   / cdiv 10876  ℕcn 11212  ...cfz 12519  Σcsu 14615   ∥ cdvds 15182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-dvds 15183

This theorem is referenced by:  logsqvma  25430