Theorem fsumdvdscom 25756

Description: A double commutation of divisor sums based on fsumdvdsdiag 25755. Note that 𝐴 depends on both 𝑗 and 𝑘. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumdvdscom.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
fsumdvdscom.2	⊢ (𝑗 = (𝑘 · 𝑚) → 𝐴 = 𝐵)
fsumdvdscom.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑗})) → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumdvdscom	⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑗}𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝐵,𝑗   𝑗,𝑘,𝑚,𝑥,𝑁   𝜑,𝑗,𝑘,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑥,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑘,𝑚)

Proof of Theorem fsumdvdscom

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2977	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑢Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑗}𝐴
2		nfcv 2977	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}
3		nfcsb1v 3906	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴
4	2, 3	nfsumw 15041	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴
5		breq2 5062	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑢 → (𝑥 ∥ 𝑗 ↔ 𝑥 ∥ 𝑢))
6	5	rabbidv 3480	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑢 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑗} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢})
7		csbeq1a 3896	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑢 → 𝐴 = ⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴)
8	7	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝑗 = 𝑢 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑗}) → 𝐴 = ⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴)
9	6, 8	sumeq12dv 15057	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑢 → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑗}𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴)
10	1, 4, 9	cbvsumi 15048	. 2 ⊢ Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑗}𝐴 = Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴
11		breq2 5062	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑁 / 𝑣) → (𝑥 ∥ 𝑢 ↔ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)))
12	11	rabbidv 3480	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (𝑁 / 𝑣) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)})
13		csbeq1 3885	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑁 / 𝑣) → ⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 = ⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴)
14	13	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 = (𝑁 / 𝑣) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}) → ⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 = ⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴)
15	12, 14	sumeq12dv 15057	. . . 4 ⊢ (𝑢 = (𝑁 / 𝑣) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴)
16		fzfid 13335	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
17		fsumdvdscom.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
18		dvdsssfz1 15662	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ⊆ (1...𝑁))
19	17, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ⊆ (1...𝑁))
20	16, 19	ssfid 8735	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∈ Fin)
21		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}
22		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧)) = (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧))
23	21, 22	dvdsflip 15661	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧)):{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
24	17, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧)):{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
25		oveq2 7158	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑣 → (𝑁 / 𝑧) = (𝑁 / 𝑣))
26		ovex 7183	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 / 𝑧) ∈ V
27	25, 22, 26	fvmpt3i 6767	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} → ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧))‘𝑣) = (𝑁 / 𝑣))
28	27	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ↦ (𝑁 / 𝑧))‘𝑣) = (𝑁 / 𝑣))
29		fzfid 13335	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (1...𝑢) ∈ Fin)
30		ssrab2 4055	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ⊆ ℕ
31		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
32	30, 31	sseldi 3964	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → 𝑢 ∈ ℕ)
33		dvdsssfz1 15662	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢} ⊆ (1...𝑢))
34	32, 33	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢} ⊆ (1...𝑢))
35	29, 34	ssfid 8735	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢} ∈ Fin)
36		fsumdvdscom.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑗})) → 𝐴 ∈ ℂ)
37	36	ralrimivva 3191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑗}𝐴 ∈ ℂ)
38		nfv 1911	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑢∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑗}𝐴 ∈ ℂ
39	3	nfel1 2994	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑗⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ
40	2, 39	nfralw 3225	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ
41	7	eleq1d 2897	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 = 𝑢 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ))
42	6, 41	raleqbidv 3401	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 = 𝑢 → (∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑗}𝐴 ∈ ℂ ↔ ∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ))
43	38, 40, 42	cbvralw 3441	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑗}𝐴 ∈ ℂ ↔ ∀𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)
44	37, 43	sylib 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)
45	44	r19.21bi 3208	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → ∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)
46	45	r19.21bi 3208	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}) → ⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)
47	35, 46	fsumcl 15084	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)
48	15, 20, 24, 28, 47	fsumf1o 15074	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴)
49	13	eleq1d 2897	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑁 / 𝑣) → (⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ))
50	12, 49	raleqbidv 3401	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑁 / 𝑣) → (∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ ↔ ∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ))
51	44	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → ∀𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)
52		dvdsdivcl 15660	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝑣) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
53	17, 52	sylan 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝑣) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
54	50, 51, 53	rspcdva 3624	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → ∀𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)
55	54	r19.21bi 3208	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}) → ⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)
56	55	anasss 469	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)})) → ⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)
57	17, 56	fsumdvdsdiag 25755	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴)
58		oveq2 7158	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 = ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚) → (𝑁 / 𝑣) = (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)))
59	58	csbeq1d 3886	. . . . . 6 ⊢ (𝑣 = ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚) → ⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴 = ⦋(𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) / 𝑗⦌𝐴)
60		fzfid 13335	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (1...(𝑁 / 𝑘)) ∈ Fin)
61		dvdsdivcl 15660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝑘) ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁})
62	30, 61	sseldi 3964	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝑘) ∈ ℕ)
63	17, 62	sylan 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑁 / 𝑘) ∈ ℕ)
64		dvdsssfz1 15662	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 / 𝑘) ∈ ℕ → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ⊆ (1...(𝑁 / 𝑘)))
65	63, 64	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ⊆ (1...(𝑁 / 𝑘)))
66	60, 65	ssfid 8735	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ∈ Fin)
67		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} = {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}
68		eqid 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ↦ ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧)) = (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ↦ ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧))
69	67, 68	dvdsflip 15661	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 / 𝑘) ∈ ℕ → (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ↦ ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧)):{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)})
70	63, 69	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ↦ ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧)):{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)})
71		oveq2 7158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑚 → ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧) = ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚))
72		ovex 7183	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧) ∈ V
73	71, 68, 72	fvmpt3i 6767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} → ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ↦ ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧))‘𝑚) = ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚))
74	73	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} ↦ ((𝑁 / 𝑘) / 𝑧))‘𝑚) = ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚))
75	17	fsumdvdsdiaglem 25754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)})))
76	56	ex 415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑣)}) → ⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ))
77	75, 76	syld 47	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} ∧ 𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → ⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ))
78	77	impl 458	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → ⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴 ∈ ℂ)
79	59, 66, 70, 74, 78	fsumf1o 15074	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → Σ𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}⦋(𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) / 𝑗⦌𝐴)
80		ovexd 7185	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) ∈ V)
81		nncn 11640	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
82		nnne0 11665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
83	81, 82	jca 514	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
84	17, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
85	84	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
86	85	simpld 497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → 𝑁 ∈ ℂ)
87		elrabi 3674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁} → 𝑘 ∈ ℕ)
88	87	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → 𝑘 ∈ ℕ)
89	88	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → 𝑘 ∈ ℕ)
90		nncn 11640	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
91		nnne0 11665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ≠ 0)
92	90, 91	jca 514	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0))
93	89, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0))
94		elrabi 3674	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)} → 𝑚 ∈ ℕ)
95	94	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → 𝑚 ∈ ℕ)
96		nncn 11640	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
97		nnne0 11665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ≠ 0)
98	96, 97	jca 514	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0))
99	95, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0))
100		divdiv1 11345	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0) ∧ (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ≠ 0)) → ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚) = (𝑁 / (𝑘 · 𝑚)))
101	86, 93, 99, 100	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚) = (𝑁 / (𝑘 · 𝑚)))
102	101	oveq2d 7166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) = (𝑁 / (𝑁 / (𝑘 · 𝑚))))
103		nnmulcl 11655	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑘 · 𝑚) ∈ ℕ)
104	88, 94, 103	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑘 · 𝑚) ∈ ℕ)
105		nncn 11640	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 · 𝑚) ∈ ℕ → (𝑘 · 𝑚) ∈ ℂ)
106		nnne0 11665	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑘 · 𝑚) ∈ ℕ → (𝑘 · 𝑚) ≠ 0)
107	105, 106	jca 514	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 · 𝑚) ∈ ℕ → ((𝑘 · 𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝑘 · 𝑚) ≠ 0))
108	104, 107	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → ((𝑘 · 𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝑘 · 𝑚) ≠ 0))
109		ddcan 11348	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0) ∧ ((𝑘 · 𝑚) ∈ ℂ ∧ (𝑘 · 𝑚) ≠ 0)) → (𝑁 / (𝑁 / (𝑘 · 𝑚))) = (𝑘 · 𝑚))
110	85, 108, 109	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑁 / (𝑁 / (𝑘 · 𝑚))) = (𝑘 · 𝑚))
111	102, 110	eqtrd 2856	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) = (𝑘 · 𝑚))
112	111	eqeq2d 2832	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → (𝑗 = (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) ↔ 𝑗 = (𝑘 · 𝑚)))
113	112	biimpa 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) ∧ 𝑗 = (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚))) → 𝑗 = (𝑘 · 𝑚))
114		fsumdvdscom.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝑘 · 𝑚) → 𝐴 = 𝐵)
115	113, 114	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) ∧ 𝑗 = (𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚))) → 𝐴 = 𝐵)
116	80, 115	csbied 3918	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) ∧ 𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}) → ⦋(𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) / 𝑗⦌𝐴 = 𝐵)
117	116	sumeq2dv 15054	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}⦋(𝑁 / ((𝑁 / 𝑘) / 𝑚)) / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}𝐵)
118	79, 117	eqtrd 2856	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}) → Σ𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}𝐵)
119	118	sumeq2dv 15054	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑣 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}⦋(𝑁 / 𝑣) / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}𝐵)
120	48, 57, 119	3eqtrd 2860	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑢 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑢}⦋𝑢 / 𝑗⦌𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}𝐵)
121	10, 120	syl5eq 2868	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑗}𝐴 = Σ𝑘 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ 𝑁}Σ𝑚 ∈ {𝑥 ∈ ℕ ∣ 𝑥 ∥ (𝑁 / 𝑘)}𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  {crab 3142  Vcvv 3494  ⦋csb 3882   ⊆ wss 3935   class class class wbr 5058   ↦ cmpt 5138  –1-1-onto→wf1o 6348  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  0cc0 10531  1c1 10532   · cmul 10536   / cdiv 11291  ℕcn 11632  ...cfz 12886  Σcsu 15036   ∥ cdvds 15601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-sum 15037  df-dvds 15602

This theorem is referenced by:  logsqvma  26112