Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumf1of Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumf1of 41731
Description: Re-index a finite sum using a bijection. Same as fsumf1o 15068, but using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumf1of.1 𝑘𝜑
fsumf1of.2 𝑛𝜑
fsumf1of.3 (𝑘 = 𝐺𝐵 = 𝐷)
fsumf1of.4 (𝜑𝐶 ∈ Fin)
fsumf1of.5 (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
fsumf1of.6 ((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) = 𝐺)
fsumf1of.7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumf1of (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝐷,𝑘   𝑛,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑛)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fsumf1of
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 csbeq1a 3894 . . . 4 (𝑘 = 𝑖𝐵 = 𝑖 / 𝑘𝐵)
2 nfcv 2974 . . . 4 𝑖𝐴
3 nfcv 2974 . . . 4 𝑘𝐴
4 nfcv 2974 . . . 4 𝑖𝐵
5 nfcsb1v 3904 . . . 4 𝑘𝑖 / 𝑘𝐵
61, 2, 3, 4, 5cbvsum 15040 . . 3 Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑖𝐴 𝑖 / 𝑘𝐵
76a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑖𝐴 𝑖 / 𝑘𝐵)
8 nfv 1906 . . . . 5 𝑘 𝑖 = 𝑗 / 𝑛𝐺
9 nfcv 2974 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑛𝐷
105, 9nfeq 2988 . . . . 5 𝑘𝑖 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷
118, 10nfim 1888 . . . 4 𝑘(𝑖 = 𝑗 / 𝑛𝐺𝑖 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷)
12 eqeq1 2822 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 = 𝑗 / 𝑛𝐺𝑖 = 𝑗 / 𝑛𝐺))
131eqeq1d 2820 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → (𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷𝑖 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷))
1412, 13imbi12d 346 . . . 4 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 = 𝑗 / 𝑛𝐺𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷) ↔ (𝑖 = 𝑗 / 𝑛𝐺𝑖 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷)))
15 nfcv 2974 . . . . . . 7 𝑛𝑘
16 nfcsb1v 3904 . . . . . . 7 𝑛𝑗 / 𝑛𝐺
1715, 16nfeq 2988 . . . . . 6 𝑛 𝑘 = 𝑗 / 𝑛𝐺
18 nfcv 2974 . . . . . . 7 𝑛𝐵
19 nfcsb1v 3904 . . . . . . 7 𝑛𝑗 / 𝑛𝐷
2018, 19nfeq 2988 . . . . . 6 𝑛 𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷
2117, 20nfim 1888 . . . . 5 𝑛(𝑘 = 𝑗 / 𝑛𝐺𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷)
22 csbeq1a 3894 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑗𝐺 = 𝑗 / 𝑛𝐺)
2322eqeq2d 2829 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑗 → (𝑘 = 𝐺𝑘 = 𝑗 / 𝑛𝐺))
24 csbeq1a 3894 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑗𝐷 = 𝑗 / 𝑛𝐷)
2524eqeq2d 2829 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑗 → (𝐵 = 𝐷𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷))
2623, 25imbi12d 346 . . . . 5 (𝑛 = 𝑗 → ((𝑘 = 𝐺𝐵 = 𝐷) ↔ (𝑘 = 𝑗 / 𝑛𝐺𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷)))
27 fsumf1of.3 . . . . 5 (𝑘 = 𝐺𝐵 = 𝐷)
2821, 26, 27chvarfv 2232 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 / 𝑛𝐺𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷)
2911, 14, 28chvarfv 2232 . . 3 (𝑖 = 𝑗 / 𝑛𝐺𝑖 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷)
30 fsumf1of.4 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Fin)
31 fsumf1of.5 . . 3 (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
32 fsumf1of.2 . . . . . 6 𝑛𝜑
33 nfv 1906 . . . . . 6 𝑛 𝑗𝐶
3432, 33nfan 1891 . . . . 5 𝑛(𝜑𝑗𝐶)
35 nfcv 2974 . . . . . 6 𝑛(𝐹𝑗)
3635, 16nfeq 2988 . . . . 5 𝑛(𝐹𝑗) = 𝑗 / 𝑛𝐺
3734, 36nfim 1888 . . . 4 𝑛((𝜑𝑗𝐶) → (𝐹𝑗) = 𝑗 / 𝑛𝐺)
38 eleq1w 2892 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑗 → (𝑛𝐶𝑗𝐶))
3938anbi2d 628 . . . . 5 (𝑛 = 𝑗 → ((𝜑𝑛𝐶) ↔ (𝜑𝑗𝐶)))
40 fveq2 6663 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑗 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑗))
4140, 22eqeq12d 2834 . . . . 5 (𝑛 = 𝑗 → ((𝐹𝑛) = 𝐺 ↔ (𝐹𝑗) = 𝑗 / 𝑛𝐺))
4239, 41imbi12d 346 . . . 4 (𝑛 = 𝑗 → (((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) = 𝐺) ↔ ((𝜑𝑗𝐶) → (𝐹𝑗) = 𝑗 / 𝑛𝐺)))
43 fsumf1of.6 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) = 𝐺)
4437, 42, 43chvarfv 2232 . . 3 ((𝜑𝑗𝐶) → (𝐹𝑗) = 𝑗 / 𝑛𝐺)
45 fsumf1of.1 . . . . . 6 𝑘𝜑
46 nfv 1906 . . . . . 6 𝑘 𝑖𝐴
4745, 46nfan 1891 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑖𝐴)
485nfel1 2991 . . . . 5 𝑘𝑖 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
4947, 48nfim 1888 . . . 4 𝑘((𝜑𝑖𝐴) → 𝑖 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
50 eleq1w 2892 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘𝐴𝑖𝐴))
5150anbi2d 628 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑖𝐴)))
521eleq1d 2894 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑖 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
5351, 52imbi12d 346 . . . 4 (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑖 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)))
54 fsumf1of.7 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5549, 53, 54chvarfv 2232 . . 3 ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑖 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
5629, 30, 31, 44, 55fsumf1o 15068 . 2 (𝜑 → Σ𝑖𝐴 𝑖 / 𝑘𝐵 = Σ𝑗𝐶 𝑗 / 𝑛𝐷)
57 nfcv 2974 . . . . 5 𝑗𝐶
58 nfcv 2974 . . . . 5 𝑛𝐶
59 nfcv 2974 . . . . 5 𝑗𝐷
6024, 57, 58, 59, 19cbvsum 15040 . . . 4 Σ𝑛𝐶 𝐷 = Σ𝑗𝐶 𝑗 / 𝑛𝐷
6160eqcomi 2827 . . 3 Σ𝑗𝐶 𝑗 / 𝑛𝐷 = Σ𝑛𝐶 𝐷
6261a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ𝑗𝐶 𝑗 / 𝑛𝐷 = Σ𝑛𝐶 𝐷)
637, 56, 623eqtrd 2857 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wnf 1775  wcel 2105  csb 3880  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  Fincfn 8497  cc 10523  Σcsu 15030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031
This theorem is referenced by:  sge0f1o  42541
  Copyright terms: Public domain W3C validator