Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumf1of Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumf1of 39238
Description: Re-index a finite sum using a bijection. Same as fsumf1o 14395, but using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumf1of.1 𝑘𝜑
fsumf1of.2 𝑛𝜑
fsumf1of.3 (𝑘 = 𝐺𝐵 = 𝐷)
fsumf1of.4 (𝜑𝐶 ∈ Fin)
fsumf1of.5 (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
fsumf1of.6 ((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) = 𝐺)
fsumf1of.7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumf1of (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑛   𝐶,𝑛   𝐷,𝑘   𝑛,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑛)   𝐹(𝑘)   𝐺(𝑛)

Proof of Theorem fsumf1of
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 csbeq1a 3527 . . . 4 (𝑘 = 𝑖𝐵 = 𝑖 / 𝑘𝐵)
2 nfcv 2761 . . . 4 𝑖𝐴
3 nfcv 2761 . . . 4 𝑘𝐴
4 nfcv 2761 . . . 4 𝑖𝐵
5 nfcsb1v 3534 . . . 4 𝑘𝑖 / 𝑘𝐵
61, 2, 3, 4, 5cbvsum 14367 . . 3 Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑖𝐴 𝑖 / 𝑘𝐵
76a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑖𝐴 𝑖 / 𝑘𝐵)
8 nfv 1840 . . . . 5 𝑘 𝑖 = 𝑗 / 𝑛𝐺
9 nfcv 2761 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑛𝐷
105, 9nfeq 2772 . . . . 5 𝑘𝑖 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷
118, 10nfim 1822 . . . 4 𝑘(𝑖 = 𝑗 / 𝑛𝐺𝑖 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷)
12 eqeq1 2625 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 = 𝑗 / 𝑛𝐺𝑖 = 𝑗 / 𝑛𝐺))
131eqeq1d 2623 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → (𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷𝑖 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷))
1412, 13imbi12d 334 . . . 4 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘 = 𝑗 / 𝑛𝐺𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷) ↔ (𝑖 = 𝑗 / 𝑛𝐺𝑖 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷)))
15 nfcv 2761 . . . . . . 7 𝑛𝑘
16 nfcsb1v 3534 . . . . . . 7 𝑛𝑗 / 𝑛𝐺
1715, 16nfeq 2772 . . . . . 6 𝑛 𝑘 = 𝑗 / 𝑛𝐺
18 nfcv 2761 . . . . . . 7 𝑛𝐵
19 nfcsb1v 3534 . . . . . . 7 𝑛𝑗 / 𝑛𝐷
2018, 19nfeq 2772 . . . . . 6 𝑛 𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷
2117, 20nfim 1822 . . . . 5 𝑛(𝑘 = 𝑗 / 𝑛𝐺𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷)
22 csbeq1a 3527 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑗𝐺 = 𝑗 / 𝑛𝐺)
2322eqeq2d 2631 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑗 → (𝑘 = 𝐺𝑘 = 𝑗 / 𝑛𝐺))
24 csbeq1a 3527 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑗𝐷 = 𝑗 / 𝑛𝐷)
2524eqeq2d 2631 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑗 → (𝐵 = 𝐷𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷))
2623, 25imbi12d 334 . . . . 5 (𝑛 = 𝑗 → ((𝑘 = 𝐺𝐵 = 𝐷) ↔ (𝑘 = 𝑗 / 𝑛𝐺𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷)))
27 fsumf1of.3 . . . . 5 (𝑘 = 𝐺𝐵 = 𝐷)
2821, 26, 27chvar 2261 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 / 𝑛𝐺𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷)
2911, 14, 28chvar 2261 . . 3 (𝑖 = 𝑗 / 𝑛𝐺𝑖 / 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑛𝐷)
30 fsumf1of.4 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Fin)
31 fsumf1of.5 . . 3 (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
32 fsumf1of.2 . . . . . 6 𝑛𝜑
33 nfv 1840 . . . . . 6 𝑛 𝑗𝐶
3432, 33nfan 1825 . . . . 5 𝑛(𝜑𝑗𝐶)
35 nfcv 2761 . . . . . 6 𝑛(𝐹𝑗)
3635, 16nfeq 2772 . . . . 5 𝑛(𝐹𝑗) = 𝑗 / 𝑛𝐺
3734, 36nfim 1822 . . . 4 𝑛((𝜑𝑗𝐶) → (𝐹𝑗) = 𝑗 / 𝑛𝐺)
38 eleq1 2686 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑗 → (𝑛𝐶𝑗𝐶))
3938anbi2d 739 . . . . 5 (𝑛 = 𝑗 → ((𝜑𝑛𝐶) ↔ (𝜑𝑗𝐶)))
40 fveq2 6153 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑗 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑗))
4140, 22eqeq12d 2636 . . . . 5 (𝑛 = 𝑗 → ((𝐹𝑛) = 𝐺 ↔ (𝐹𝑗) = 𝑗 / 𝑛𝐺))
4239, 41imbi12d 334 . . . 4 (𝑛 = 𝑗 → (((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) = 𝐺) ↔ ((𝜑𝑗𝐶) → (𝐹𝑗) = 𝑗 / 𝑛𝐺)))
43 fsumf1of.6 . . . 4 ((𝜑𝑛𝐶) → (𝐹𝑛) = 𝐺)
4437, 42, 43chvar 2261 . . 3 ((𝜑𝑗𝐶) → (𝐹𝑗) = 𝑗 / 𝑛𝐺)
45 fsumf1of.1 . . . . . 6 𝑘𝜑
46 nfv 1840 . . . . . 6 𝑘 𝑖𝐴
4745, 46nfan 1825 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑖𝐴)
485nfel1 2775 . . . . 5 𝑘𝑖 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
4947, 48nfim 1822 . . . 4 𝑘((𝜑𝑖𝐴) → 𝑖 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
50 eleq1 2686 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘𝐴𝑖𝐴))
5150anbi2d 739 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑖𝐴)))
521eleq1d 2683 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑖 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
5351, 52imbi12d 334 . . . 4 (𝑘 = 𝑖 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑖 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)))
54 fsumf1of.7 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5549, 53, 54chvar 2261 . . 3 ((𝜑𝑖𝐴) → 𝑖 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
5629, 30, 31, 44, 55fsumf1o 14395 . 2 (𝜑 → Σ𝑖𝐴 𝑖 / 𝑘𝐵 = Σ𝑗𝐶 𝑗 / 𝑛𝐷)
57 nfcv 2761 . . . . 5 𝑗𝐶
58 nfcv 2761 . . . . 5 𝑛𝐶
59 nfcv 2761 . . . . 5 𝑗𝐷
6024, 57, 58, 59, 19cbvsum 14367 . . . 4 Σ𝑛𝐶 𝐷 = Σ𝑗𝐶 𝑗 / 𝑛𝐷
6160eqcomi 2630 . . 3 Σ𝑗𝐶 𝑗 / 𝑛𝐷 = Σ𝑛𝐶 𝐷
6261a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ𝑗𝐶 𝑗 / 𝑛𝐷 = Σ𝑛𝐶 𝐷)
637, 56, 623eqtrd 2659 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑛𝐶 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1987  csb 3518  1-1-ontowf1o 5851  cfv 5852  Fincfn 7907  cc 9886  Σcsu 14358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-oi 8367  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-sum 14359
This theorem is referenced by:  sge0f1o  39932
  Copyright terms: Public domain W3C validator