Theorem fsumge0 15152

Description: If all of the terms of a finite sum are nonnegative, so is the sum. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumge0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumge0.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumge0.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fsumge0	⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumge0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rge0ssre 12847	. . . . 5 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2		ax-resscn 10596	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3	1, 2	sstri 3978	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ ℂ)
5		ge0addcl 12851	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
6	5	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
7		fsumge0.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
8		fsumge0.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9		fsumge0.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
10		elrege0 12845	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
11	8, 9, 10	sylanbrc 585	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
12		0e0icopnf 12849	. . . 4 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,)+∞))
14	4, 6, 7, 11, 13	fsumcllem 15091	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
15		elrege0 12845	. . 3 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
16	15	simprbi 499	. 2 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
17	14, 16	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3938   class class class wbr 5068  (class class class)co 7158  Fincfn 8511  ℂcc 10537  ℝcr 10538  0cc0 10539   + caddc 10542  +∞cpnf 10674   ≤ cle 10678  [,)cico 12743  Σcsu 15044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-ico 12747  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-sum 15045

This theorem is referenced by:  fsumless  15153  fsumle  15156  o1fsum  15170  rrxcph  23997  csbren  24004  trirn  24005  rrxmet  24013  rrxdstprj1  24014  itg1ge0  24289  itg1ge0a  24314  mtest  24994  abelthlem7  25028  abelthlem8  25029  ftalem4  25655  ftalem5  25656  chtge0  25691  vmadivsum  26060  vmadivsumb  26061  rpvmasumlem  26065  dchrvmasumlem2  26076  dchrisum0re  26091  rplogsum  26105  dirith2  26106  mulog2sumlem2  26113  vmalogdivsum2  26116  2vmadivsumlem  26118  selbergb  26127  selberg2b  26130  logdivbnd  26134  selberg3lem2  26136  selberg4lem1  26138  pntrlog2bndlem1  26155  pntrlog2bndlem2  26156  pntrlog2bnd  26162  pntpbnd1  26164  pntlemf  26183  axsegconlem3  26707  ax5seglem3  26719  sibfof  31600  eulerpartlemgc  31622  eulerpartlemb  31628  hgt750leme  31931  rrnmet  35109  rrndstprj1  35110  rrndstprj2  35111  fsumge0cl  41861  stoweidlem26  42318  stoweidlem38  42330  stoweidlem44  42336  etransclem35  42561  rrndistlt  42582  hoiqssbllem2  42912