Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumge0 14465
 Description: If all of the terms of a finite sum are nonnegative, so is the sum. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumge0.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumge0.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumge0.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fsumge0 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumge0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rge0ssre 12230 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2 ax-resscn 9945 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
31, 2sstri 3596 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ ℂ)
5 ge0addcl 12234 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
65adantl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
7 fsumge0.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
8 fsumge0.2 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9 fsumge0.3 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
10 elrege0 12228 . . . 4 (𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
118, 9, 10sylanbrc 697 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
12 0e0icopnf 12232 . . . 4 0 ∈ (0[,)+∞)
1312a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ (0[,)+∞))
144, 6, 7, 11, 13fsumcllem 14404 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
15 elrege0 12228 . . 3 𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞) ↔ (Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵))
1615simprbi 480 . 2 𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
1714, 16syl 17 1 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1987   ⊆ wss 3559   class class class wbr 4618  (class class class)co 6610  Fincfn 7907  ℂcc 9886  ℝcr 9887  0cc0 9888   + caddc 9891  +∞cpnf 10023   ≤ cle 10027  [,)cico 12127  Σcsu 14358 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-oi 8367  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-ico 12131  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-sum 14359 This theorem is referenced by:  fsumless  14466  fsumle  14469  o1fsum  14483  rrxcph  23103  csbren  23105  trirn  23106  rrxmet  23114  rrxdstprj1  23115  itg1ge0  23376  itg1ge0a  23401  mtest  24079  abelthlem7  24113  abelthlem8  24114  ftalem4  24719  ftalem5  24720  chtge0  24755  vmadivsum  25088  vmadivsumb  25089  rpvmasumlem  25093  dchrvmasumlem2  25104  dchrisum0re  25119  rplogsum  25133  dirith2  25134  mulog2sumlem2  25141  vmalogdivsum2  25144  2vmadivsumlem  25146  selbergb  25155  selberg2b  25158  logdivbnd  25162  selberg3lem2  25164  selberg4lem1  25166  pntrlog2bndlem1  25183  pntrlog2bndlem2  25184  pntrlog2bnd  25190  pntpbnd1  25192  pntlemf  25211  axsegconlem3  25716  ax5seglem3  25728  sibfof  30207  eulerpartlemgc  30229  eulerpartlemb  30235  rrnmet  33295  rrndstprj1  33296  rrndstprj2  33297  fsumge0cl  39237  stoweidlem26  39576  stoweidlem38  39588  stoweidlem44  39594  etransclem35  39819  rrndistlt  39843  hoiqssbllem2  40170
 Copyright terms: Public domain W3C validator