MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumiun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumiun 14597
Description: Sum over a disjoint indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumiun.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumiun.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
fsumiun.3 (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
fsumiun.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumiun (𝜑 → Σ𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐴   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘,𝑥   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumiun
Dummy variables 𝑢 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3657 . 2 𝐴𝐴
2 fsumiun.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 sseq1 3659 . . . . . 6 (𝑢 = ∅ → (𝑢𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
4 iuneq1 4566 . . . . . . . . 9 (𝑢 = ∅ → 𝑥𝑢 𝐵 = 𝑥 ∈ ∅ 𝐵)
5 0iun 4609 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ ∅ 𝐵 = ∅
64, 5syl6eq 2701 . . . . . . . 8 (𝑢 = ∅ → 𝑥𝑢 𝐵 = ∅)
76sumeq1d 14475 . . . . . . 7 (𝑢 = ∅ → Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶)
8 sumeq1 14463 . . . . . . 7 (𝑢 = ∅ → Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶)
97, 8eqeq12d 2666 . . . . . 6 (𝑢 = ∅ → (Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶 ↔ Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶))
103, 9imbi12d 333 . . . . 5 (𝑢 = ∅ → ((𝑢𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶) ↔ (∅ ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶)))
1110imbi2d 329 . . . 4 (𝑢 = ∅ → ((𝜑 → (𝑢𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶)) ↔ (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶))))
12 sseq1 3659 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑧 → (𝑢𝐴𝑧𝐴))
13 iuneq1 4566 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑧 𝑥𝑢 𝐵 = 𝑥𝑧 𝐵)
1413sumeq1d 14475 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑧 → Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶)
15 sumeq1 14463 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑧 → Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶)
1614, 15eqeq12d 2666 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑧 → (Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶 ↔ Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶))
1712, 16imbi12d 333 . . . . 5 (𝑢 = 𝑧 → ((𝑢𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶) ↔ (𝑧𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶)))
1817imbi2d 329 . . . 4 (𝑢 = 𝑧 → ((𝜑 → (𝑢𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶)) ↔ (𝜑 → (𝑧𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶))))
19 sseq1 3659 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → (𝑢𝐴 ↔ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴))
20 iuneq1 4566 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → 𝑥𝑢 𝐵 = 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵)
2120sumeq1d 14475 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶)
22 sumeq1 14463 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶)
2321, 22eqeq12d 2666 . . . . . 6 (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → (Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶 ↔ Σ𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶))
2419, 23imbi12d 333 . . . . 5 (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → ((𝑢𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶) ↔ ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶)))
2524imbi2d 329 . . . 4 (𝑢 = (𝑧 ∪ {𝑤}) → ((𝜑 → (𝑢𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶)) ↔ (𝜑 → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶))))
26 sseq1 3659 . . . . . 6 (𝑢 = 𝐴 → (𝑢𝐴𝐴𝐴))
27 iuneq1 4566 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝐴 𝑥𝑢 𝐵 = 𝑥𝐴 𝐵)
2827sumeq1d 14475 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶)
29 sumeq1 14463 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝐴 → Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶)
3028, 29eqeq12d 2666 . . . . . 6 (𝑢 = 𝐴 → (Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶 ↔ Σ𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶))
3126, 30imbi12d 333 . . . . 5 (𝑢 = 𝐴 → ((𝑢𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶) ↔ (𝐴𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶)))
3231imbi2d 329 . . . 4 (𝑢 = 𝐴 → ((𝜑 → (𝑢𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑢 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑢 Σ𝑘𝐵 𝐶)) ↔ (𝜑 → (𝐴𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶))))
33 sum0 14496 . . . . . 6 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = 0
34 sum0 14496 . . . . . 6 Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶 = 0
3533, 34eqtr4i 2676 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶
36352a1i 12 . . . 4 (𝜑 → (∅ ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐶 = Σ𝑥 ∈ ∅ Σ𝑘𝐵 𝐶))
37 id 22 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴)
3837unssad 3823 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴𝑧𝐴)
3938imim1i 63 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶) → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶))
40 oveq1 6697 . . . . . . . . . . 11 𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶 → (Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 + Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) = (Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶 + Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶))
41 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧𝐵
42 nfcsb1v 3582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝑧 / 𝑥𝐵
43 csbeq1a 3575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧𝐵 = 𝑧 / 𝑥𝐵)
4441, 42, 43cbviun 4589 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 = 𝑧 ∈ {𝑤}𝑧 / 𝑥𝐵
45 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑤 ∈ V
46 csbeq1 3569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑤𝑧 / 𝑥𝐵 = 𝑤 / 𝑥𝐵)
4745, 46iunxsn 4635 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧 ∈ {𝑤}𝑧 / 𝑥𝐵 = 𝑤 / 𝑥𝐵
4844, 47eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵 = 𝑤 / 𝑥𝐵
4948ineq2i 3844 . . . . . . . . . . . . . 14 ( 𝑥𝑧 𝐵 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) = ( 𝑥𝑧 𝐵𝑤 / 𝑥𝐵)
50 fsumiun.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
5150ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Disj 𝑥𝐴 𝐵)
5238adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → 𝑧𝐴)
53 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴)
5453unssbd 3824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → {𝑤} ⊆ 𝐴)
55 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ¬ 𝑤𝑧)
56 disjsn 4278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅ ↔ ¬ 𝑤𝑧)
5755, 56sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅)
58 disjiun 4672 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Disj 𝑥𝐴 𝐵 ∧ (𝑧𝐴 ∧ {𝑤} ⊆ 𝐴 ∧ (𝑧 ∩ {𝑤}) = ∅)) → ( 𝑥𝑧 𝐵 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) = ∅)
5951, 52, 54, 57, 58syl13anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ( 𝑥𝑧 𝐵 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) = ∅)
6049, 59syl5eqr 2699 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ( 𝑥𝑧 𝐵𝑤 / 𝑥𝐵) = ∅)
61 iunxun 4637 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 = ( 𝑥𝑧 𝐵 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵)
6248uneq2i 3797 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( 𝑥𝑧 𝐵 𝑥 ∈ {𝑤}𝐵) = ( 𝑥𝑧 𝐵𝑤 / 𝑥𝐵)
6361, 62eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 = ( 𝑥𝑧 𝐵𝑤 / 𝑥𝐵)
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 = ( 𝑥𝑧 𝐵𝑤 / 𝑥𝐵))
652ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
66 ssfi 8221 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (𝑧 ∪ {𝑤}) ∈ Fin)
6765, 53, 66syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (𝑧 ∪ {𝑤}) ∈ Fin)
68 fsumiun.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)
6968ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin)
7069ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin)
71 ssralv 3699 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ∈ Fin))
7253, 70, 71sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ∈ Fin)
73 iunfi 8295 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 ∪ {𝑤}) ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ∈ Fin) → 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ∈ Fin)
7467, 72, 73syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 ∈ Fin)
75 iunss1 4564 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 𝑥𝐴 𝐵)
7675adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵 𝑥𝐴 𝐵)
7776sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) → 𝑘 𝑥𝐴 𝐵)
78 eliun 4556 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑘𝐵)
79 fsumiun.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑘𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
8079rexlimdvaa 3061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (∃𝑥𝐴 𝑘𝐵𝐶 ∈ ℂ))
8180ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (∃𝑥𝐴 𝑘𝐵𝐶 ∈ ℂ))
8278, 81syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶 ∈ ℂ))
8382imp 444 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 𝑥𝐴 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
8477, 83syldan 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
8560, 64, 74, 84fsumsplit 14515 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = (Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 + Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶))
86 eqidd 2652 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (𝑧 ∪ {𝑤}) = (𝑧 ∪ {𝑤}))
8753sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) → 𝑥𝐴)
8879anassrs 681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
8968, 88fsumcl 14508 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐴) → Σ𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
9089ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
9190ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → ∀𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
9291r19.21bi 2961 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥𝐴) → Σ𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
9387, 92syldan 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})) → Σ𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
9457, 86, 67, 93fsumsplit 14515 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶 = (Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶 + Σ𝑥 ∈ {𝑤𝑘𝐵 𝐶))
95 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧Σ𝑘𝐵 𝐶
96 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝐶
9742, 96nfsum 14465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥Σ𝑘 𝑧 / 𝑥𝐵𝐶
9843sumeq1d 14475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑘 𝑧 / 𝑥𝐵𝐶)
9995, 97, 98cbvsumi 14471 . . . . . . . . . . . . . . 15 Σ𝑥 ∈ {𝑤𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑧 ∈ {𝑤𝑘 𝑧 / 𝑥𝐵𝐶
10045snss 4348 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤𝐴 ↔ {𝑤} ⊆ 𝐴)
10154, 100sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → 𝑤𝐴)
102 nfcsb1v 3582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥𝑤 / 𝑥𝐵
103102, 96nfsum 14465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶
104103nfel1 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶 ∈ ℂ
105 csbeq1a 3575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑤𝐵 = 𝑤 / 𝑥𝐵)
106105sumeq1d 14475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑤 → Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)
107106eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑤 → (Σ𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ ↔ Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶 ∈ ℂ))
108104, 107rspc 3334 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤𝐴 → (∀𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ → Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶 ∈ ℂ))
109101, 91, 108sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶 ∈ ℂ)
11046sumeq1d 14475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑤 → Σ𝑘 𝑧 / 𝑥𝐵𝐶 = Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)
111110sumsn 14519 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ V ∧ Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶 ∈ ℂ) → Σ𝑧 ∈ {𝑤𝑘 𝑧 / 𝑥𝐵𝐶 = Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)
11245, 109, 111sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑧 ∈ {𝑤𝑘 𝑧 / 𝑥𝐵𝐶 = Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)
11399, 112syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑥 ∈ {𝑤𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)
114113oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶 + Σ𝑥 ∈ {𝑤𝑘𝐵 𝐶) = (Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶 + Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶))
11594, 114eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶 = (Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶 + Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶))
11685, 115eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (Σ𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶 ↔ (Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 + Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶) = (Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶 + Σ𝑘 𝑤 / 𝑥𝐵𝐶)))
11740, 116syl5ibr 236 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) ∧ (𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴) → (Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶 → Σ𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶))
118117ex 449 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → (Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶 → Σ𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶)))
119118a2d 29 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) → (((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶) → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶)))
12039, 119syl5 34 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑤𝑧) → ((𝑧𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶) → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶)))
121120expcom 450 . . . . . 6 𝑤𝑧 → (𝜑 → ((𝑧𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶) → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶))))
122121a2d 29 . . . . 5 𝑤𝑧 → ((𝜑 → (𝑧𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶)) → (𝜑 → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶))))
123122adantl 481 . . . 4 ((𝑧 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑤𝑧) → ((𝜑 → (𝑧𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝑧 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝑧 Σ𝑘𝐵 𝐶)) → (𝜑 → ((𝑧 ∪ {𝑤}) ⊆ 𝐴 → Σ𝑘 𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})𝐵𝐶 = Σ𝑥 ∈ (𝑧 ∪ {𝑤})Σ𝑘𝐵 𝐶))))
12411, 18, 25, 32, 36, 123findcard2s 8242 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝜑 → (𝐴𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶)))
1252, 124mpcom 38 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐴 → Σ𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶))
1261, 125mpi 20 1 (𝜑 → Σ𝑘 𝑥𝐴 𝐵𝐶 = Σ𝑥𝐴 Σ𝑘𝐵 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  csb 3566  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948  {csn 4210   ciun 4552  Disj wdisj 4652  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cc 9972  0cc0 9974   + caddc 9977  Σcsu 14460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461
This theorem is referenced by:  hashiun  14598  incexc2  14614  musum  24962  breprexplema  30836  fsumiunss  40125
  Copyright terms: Public domain W3C validator