Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumiunss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumiunss 39239
Description: Sum over a disjoint indexed union, intersected with a finite set 𝐷. Similar to fsumiun 14491, but here 𝐴 and 𝐵 need not be finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumiunss.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
fsumiunss.dj (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
fsumiunss.c ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
fsumiunss.fi (𝜑𝐷 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
fsumiunss (𝜑 → Σ𝑘 𝑥𝐴 (𝐵𝐷)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝐷)𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝐷,𝑘,𝑥   𝑥,𝑉   𝜑,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem fsumiunss
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2761 . . . . 5 𝑦(𝐵𝐷)
2 nfcsb1v 3534 . . . . . 6 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵
3 nfcv 2761 . . . . . 6 𝑥𝐷
42, 3nfin 3803 . . . . 5 𝑥(𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)
5 csbeq1a 3527 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
65ineq1d 3796 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵𝐷) = (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))
71, 4, 6cbviun 4528 . . . 4 𝑥𝐴 (𝐵𝐷) = 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)
87sumeq1i 14370 . . 3 Σ𝑘 𝑥𝐴 (𝐵𝐷)𝐶 = Σ𝑘 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝐶
98a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 𝑥𝐴 (𝐵𝐷)𝐶 = Σ𝑘 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝐶)
10 eliun 4495 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ↔ ∃𝑦𝐴 𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))
1110biimpi 206 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) → ∃𝑦𝐴 𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))
12 df-rex 2913 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦𝐴 𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ↔ ∃𝑦(𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)))
1311, 12sylib 208 . . . . . . . . . 10 (𝑧 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) → ∃𝑦(𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)))
14 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . 12 𝑦𝑧
15 nfiu1 4521 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)
1614, 15nfel 2773 . . . . . . . . . . 11 𝑦 𝑧 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)
17 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)) → 𝑦𝐴)
18 ne0i 3902 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) → (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ≠ ∅)
1918adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)) → (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ≠ ∅)
2017, 19jca 554 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)) → (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ≠ ∅))
21 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝑦
22 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 𝑦𝐴
2322nfci 2751 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝐴
24 nfcv 2761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥
254, 24nfne 2890 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ≠ ∅
266neeq1d 2849 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐵𝐷) ≠ ∅ ↔ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ≠ ∅))
2721, 23, 25, 26elrabf 3347 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ↔ (𝑦𝐴 ∧ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ≠ ∅))
2820, 27sylibr 224 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)) → 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅})
29 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)) → 𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))
3028, 29jca 554 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)) → (𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)))
3130a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) → ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)) → (𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))))
3216, 31eximd 2083 . . . . . . . . . 10 (𝑧 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) → (∃𝑦(𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)) → ∃𝑦(𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))))
3313, 32mpd 15 . . . . . . . . 9 (𝑧 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) → ∃𝑦(𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)))
34 df-rex 2913 . . . . . . . . 9 (∃𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)))
3533, 34sylibr 224 . . . . . . . 8 (𝑧 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) → ∃𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))
36 eliun 4495 . . . . . . . 8 (𝑧 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}𝑧 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))
3735, 36sylibr 224 . . . . . . 7 (𝑧 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) → 𝑧 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))
3837rgen 2917 . . . . . 6 𝑧 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝑧 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)
39 dfss3 3577 . . . . . 6 ( 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ⊆ 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ↔ ∀𝑧 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝑧 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))
4038, 39mpbir 221 . . . . 5 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ⊆ 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)
41 elrabi 3346 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} → 𝑦𝐴)
4241ssriv 3591 . . . . . 6 {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ⊆ 𝐴
43 iunss1 4503 . . . . . 6 ({𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ⊆ 𝐴 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ⊆ 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))
4442, 43ax-mp 5 . . . . 5 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ⊆ 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)
4540, 44eqssi 3603 . . . 4 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) = 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)
4645sumeq1i 14370 . . 3 Σ𝑘 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝐶 = Σ𝑘 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝐶
4746a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝐶 = Σ𝑘 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝐶)
48 fsumiunss.b . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
49 fsumiunss.dj . . . . 5 (𝜑Disj 𝑥𝐴 𝐵)
50 fsumiunss.fi . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ Fin)
5148, 49, 50disjinfi 38885 . . . 4 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ∈ Fin)
52 inss2 3817 . . . . . . 7 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ⊆ 𝐷
5352a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ⊆ 𝐷)
54 ssfi 8132 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Fin ∧ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ⊆ 𝐷) → (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ∈ Fin)
5550, 53, 54syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ∈ Fin)
5655adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}) → (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ∈ Fin)
5742a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ⊆ 𝐴)
58 inss1 3816 . . . . . . . 8 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ⊆ 𝑦 / 𝑥𝐵
5958rgenw 2919 . . . . . . 7 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ⊆ 𝑦 / 𝑥𝐵
6059a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ⊆ 𝑦 / 𝑥𝐵)
61 nfcv 2761 . . . . . . . 8 𝑦𝐵
62 eqcom 2628 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦𝑦 = 𝑥)
6362imbi1i 339 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵))
64 eqcom 2628 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝐵)
6564imbi2i 326 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 = 𝑥𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝐵))
6663, 65bitri 264 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝐵))
675, 66mpbi 220 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝐵)
682, 61, 67cbvdisj 4598 . . . . . . 7 (Disj 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵Disj 𝑥𝐴 𝐵)
6949, 68sylibr 224 . . . . . 6 (𝜑Disj 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵)
70 disjss2 4591 . . . . . 6 (∀𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) ⊆ 𝑦 / 𝑥𝐵 → (Disj 𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵Disj 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)))
7160, 69, 70sylc 65 . . . . 5 (𝜑Disj 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))
72 disjss1 4594 . . . . 5 ({𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ⊆ 𝐴 → (Disj 𝑦𝐴 (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) → Disj 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)))
7357, 71, 72sylc 65 . . . 4 (𝜑Disj 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))
74 simpl 473 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))) → 𝜑)
7541ad2antrl 763 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))) → 𝑦𝐴)
7658sseli 3583 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) → 𝑘𝑦 / 𝑥𝐵)
7776adantl 482 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)) → 𝑘𝑦 / 𝑥𝐵)
7877adantl 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))) → 𝑘𝑦 / 𝑥𝐵)
79 nfv 1840 . . . . . . . 8 𝑥𝜑
80 nfcv 2761 . . . . . . . . 9 𝑥𝑘
8180, 2nfel 2773 . . . . . . . 8 𝑥 𝑘𝑦 / 𝑥𝐵
8279, 22, 81nf3an 1828 . . . . . . 7 𝑥(𝜑𝑦𝐴𝑘𝑦 / 𝑥𝐵)
83 nfv 1840 . . . . . . 7 𝑥 𝐶 ∈ ℂ
8482, 83nfim 1822 . . . . . 6 𝑥((𝜑𝑦𝐴𝑘𝑦 / 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
85 eleq1 2686 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
865eleq2d 2684 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑘𝐵𝑘𝑦 / 𝑥𝐵))
8785, 863anbi23d 1399 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) ↔ (𝜑𝑦𝐴𝑘𝑦 / 𝑥𝐵)))
8887imbi1d 331 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑦𝐴𝑘𝑦 / 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)))
89 fsumiunss.c . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
9084, 88, 89chvar 2261 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴𝑘𝑦 / 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
9174, 75, 78, 90syl3anc 1323 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷))) → 𝐶 ∈ ℂ)
9251, 56, 73, 91fsumiun 14491 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝐶 = Σ𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝐶)
9367ineq1d 3796 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷) = (𝐵𝐷))
9493sumeq1d 14373 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → Σ𝑘 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝐵𝐷)𝐶)
95 nfrab1 3114 . . . . 5 𝑥{𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}
96 nfcv 2761 . . . . 5 𝑦{𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}
97 nfcv 2761 . . . . . 6 𝑥𝐶
984, 97nfsum 14363 . . . . 5 𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝐶
99 nfcv 2761 . . . . 5 𝑦Σ𝑘 ∈ (𝐵𝐷)𝐶
10094, 95, 96, 98, 99cbvsum 14367 . . . 4 Σ𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝐷)𝐶
101100a1i 11 . . 3 (𝜑 → Σ𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝐷)𝐶)
10292, 101eqtrd 2655 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 𝑦 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅} (𝑦 / 𝑥𝐵𝐷)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝐷)𝐶)
1039, 47, 1023eqtrd 2659 1 (𝜑 → Σ𝑘 𝑥𝐴 (𝐵𝐷)𝐶 = Σ𝑥 ∈ {𝑥𝐴 ∣ (𝐵𝐷) ≠ ∅}Σ𝑘 ∈ (𝐵𝐷)𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  {crab 2911  csb 3518  cin 3558  wss 3559  c0 3896   ciun 4490  Disj wdisj 4588  Fincfn 7907  cc 9886  Σcsu 14358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-ac2 9237  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-disj 4589  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-oi 8367  df-card 8717  df-acn 8720  df-ac 8891  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-sum 14359
This theorem is referenced by:  sge0iunmptlemre  39965
  Copyright terms: Public domain W3C validator