Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumless Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumless 14455
 Description: A shorter sum of nonnegative terms is smaller than a longer one. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumge0.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumge0.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumge0.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
fsumless.4 (𝜑𝐶𝐴)
Assertion
Ref Expression
fsumless (𝜑 → Σ𝑘𝐶 𝐵 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumless
StepHypRef Expression
1 fsumge0.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 difss 3715 . . . . 5 (𝐴𝐶) ⊆ 𝐴
3 ssfi 8124 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ (𝐴𝐶) ⊆ 𝐴) → (𝐴𝐶) ∈ Fin)
41, 2, 3sylancl 693 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐶) ∈ Fin)
5 eldifi 3710 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝐴𝐶) → 𝑘𝐴)
6 fsumge0.2 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
75, 6sylan2 491 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
8 fsumge0.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
95, 8sylan2 491 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐶)) → 0 ≤ 𝐵)
104, 7, 9fsumge0 14454 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐶)𝐵)
11 fsumless.4 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐴)
12 ssfi 8124 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶𝐴) → 𝐶 ∈ Fin)
131, 11, 12syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ Fin)
1411sselda 3583 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐶) → 𝑘𝐴)
1514, 6syldan 487 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
1613, 15fsumrecl 14398 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 𝐵 ∈ ℝ)
174, 7fsumrecl 14398 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐶)𝐵 ∈ ℝ)
1816, 17addge01d 10559 . . 3 (𝜑 → (0 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐶)𝐵 ↔ Σ𝑘𝐶 𝐵 ≤ (Σ𝑘𝐶 𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐶)𝐵)))
1910, 18mpbid 222 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 𝐵 ≤ (Σ𝑘𝐶 𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐶)𝐵))
20 disjdif 4012 . . . 4 (𝐶 ∩ (𝐴𝐶)) = ∅
2120a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∩ (𝐴𝐶)) = ∅)
22 undif 4021 . . . . 5 (𝐶𝐴 ↔ (𝐶 ∪ (𝐴𝐶)) = 𝐴)
2311, 22sylib 208 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∪ (𝐴𝐶)) = 𝐴)
2423eqcomd 2627 . . 3 (𝜑𝐴 = (𝐶 ∪ (𝐴𝐶)))
256recnd 10012 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2621, 24, 1, 25fsumsplit 14404 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = (Σ𝑘𝐶 𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐶)𝐵))
2719, 26breqtrrd 4641 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 𝐵 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ∖ cdif 3552   ∪ cun 3553   ∩ cin 3554   ⊆ wss 3555  ∅c0 3891   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  ℝcr 9879  0cc0 9880   + caddc 9883   ≤ cle 10019  Σcsu 14350 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-ico 12123  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351 This theorem is referenced by:  fsumge1  14456  fsum00  14457  ovolicc2lem4  23195  fsumharmonic  24638  chtwordi  24782  chpwordi  24783  chtlepsi  24831  chtublem  24836  perfectlem2  24855  chtppilimlem1  25062  vmadivsumb  25072  rplogsumlem2  25074  rpvmasumlem  25076  dchrvmasumiflem1  25090  rplogsum  25116  dirith2  25117  mulog2sumlem2  25124  selbergb  25138  selberg2b  25141  chpdifbndlem1  25142  logdivbnd  25145  selberg3lem2  25147  pntrsumbnd  25155  pntlemf  25194  esumpcvgval  29921  eulerpartlemgc  30205  fsumlessf  39213  sge0fsum  39911  sge0xaddlem1  39957  sge0seq  39970  carageniuncllem2  40043  perfectALTVlem2  40926
 Copyright terms: Public domain W3C validator