Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumlt 14513
 Description: If every term in one finite sum is less than the corresponding term in another, then the first sum is less than the second. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumlt.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumlt.2 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
fsumlt.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumlt.4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
fsumlt.5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 < 𝐶)
Assertion
Ref Expression
fsumlt (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 < Σ𝑘𝐴 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumlt
StepHypRef Expression
1 fsumlt.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 fsumlt.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
3 fsumlt.5 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 < 𝐶)
4 fsumlt.3 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
5 fsumlt.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
6 difrp 11853 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐶𝐵) ∈ ℝ+))
74, 5, 6syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐶𝐵) ∈ ℝ+))
83, 7mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶𝐵) ∈ ℝ+)
91, 2, 8fsumrpcl 14449 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐶𝐵) ∈ ℝ+)
109rpgt0d 11860 . . 3 (𝜑 → 0 < Σ𝑘𝐴 (𝐶𝐵))
115recnd 10053 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
124recnd 10053 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
131, 11, 12fsumsub 14501 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐶𝐵) = (Σ𝑘𝐴 𝐶 − Σ𝑘𝐴 𝐵))
1410, 13breqtrd 4670 . 2 (𝜑 → 0 < (Σ𝑘𝐴 𝐶 − Σ𝑘𝐴 𝐵))
151, 4fsumrecl 14446 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
161, 5fsumrecl 14446 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℝ)
1715, 16posdifd 10599 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 < Σ𝑘𝐴 𝐶 ↔ 0 < (Σ𝑘𝐴 𝐶 − Σ𝑘𝐴 𝐵)))
1814, 17mpbird 247 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 < Σ𝑘𝐴 𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∈ wcel 1988   ≠ wne 2791  ∅c0 3907   class class class wbr 4644  (class class class)co 6635  Fincfn 7940  ℝcr 9920  0cc0 9921   < clt 10059   − cmin 10251  ℝ+crp 11817  Σcsu 14397 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-oi 8400  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-clim 14200  df-sum 14398 This theorem is referenced by:  lebnumlem3  22743  rrndstprj2  33601  stoweidlem11  39991  stoweidlem26  40006  fourierdlem73  40159  rrndistlt  40273  hoiqssbllem2  40600
 Copyright terms: Public domain W3C validator