MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsummulc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsummulc1 14464
Description: A finite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM, 13-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsummulc2.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsummulc2.2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
fsummulc2.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsummulc1 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 · 𝐶) = Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsummulc1
StepHypRef Expression
1 fsummulc2.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 fsummulc2.2 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
3 fsummulc2.3 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
41, 2, 3fsummulc2 14463 . 2 (𝜑 → (𝐶 · Σ𝑘𝐴 𝐵) = Σ𝑘𝐴 (𝐶 · 𝐵))
51, 3fsumcl 14413 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
65, 2mulcomd 10021 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · Σ𝑘𝐴 𝐵))
72adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
83, 7mulcomd 10021 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
98sumeq2dv 14383 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶) = Σ𝑘𝐴 (𝐶 · 𝐵))
104, 6, 93eqtr4d 2665 1 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 · 𝐶) = Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  (class class class)co 6615  Fincfn 7915  cc 9894   · cmul 9901  Σcsu 14366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-oi 8375  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-clim 14169  df-sum 14367
This theorem is referenced by:  fsumdivc  14465  fsum2mul  14468  binomlem  14505  geoserg  14542  geo2sum  14548  mertenslem1  14560  binomfallfaclem2  14715  csbren  23122  plymullem1  23908  aalioulem1  24025  aaliou3lem6  24041  ftalem1  24733  ftalem5  24737  musumsum  24852  muinv  24853  fsumdvdsmul  24855  vmadivsum  25105  dchrisumlem2  25113  dchrmusum2  25117  dchrvmasumiflem2  25125  rpvmasum2  25135  dchrisum0lem1  25139  dchrisum0lem2a  25140  mulogsumlem  25154  mulog2sumlem3  25159  vmalogdivsum  25162  2vmadivsumlem  25163  logsqvma  25165  selberg3lem1  25180  selberg4  25184  pntrlog2bndlem5  25204  eulerpartlemgs2  30265  jm2.23  37082  fsummulc1f  39238  dvnprodlem2  39499  dirkertrigeqlem2  39653  etransclem23  39811  etransclem46  39834  hoidmvlelem2  40147  nn0sumshdiglemA  41735  nn0sumshdiglemB  41736  nn0mullong  41741  aacllem  41880  amgmlemALT  41882
  Copyright terms: Public domain W3C validator