Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsummulc1f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsummulc1f 39227
Description: Closure of a finite sum of complex numbers 𝐴(𝑘). A version of fsummulc1 14452 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsummulc1f.ph 𝑘𝜑
fsummulclf.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsummulclf.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
fsummulclf.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsummulc1f (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 · 𝐶) = Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsummulc1f
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 csbeq1a 3527 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
2 nfcv 2761 . . . . 5 𝑗𝐴
3 nfcv 2761 . . . . 5 𝑘𝐴
4 nfcv 2761 . . . . 5 𝑗𝐵
5 nfcsb1v 3534 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
61, 2, 3, 4, 5cbvsum 14366 . . . 4 Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵
76oveq1i 6620 . . 3 𝑘𝐴 𝐵 · 𝐶) = (Σ𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 · 𝐶)
87a1i 11 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 · 𝐶) = (Σ𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 · 𝐶))
9 fsummulclf.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
10 fsummulclf.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
11 fsummulc1f.ph . . . . . 6 𝑘𝜑
12 nfv 1840 . . . . . 6 𝑘 𝑗𝐴
1311, 12nfan 1825 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑗𝐴)
145nfel1 2775 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
1513, 14nfim 1822 . . . 4 𝑘((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
16 eleq1 2686 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝐴𝑗𝐴))
1716anbi2d 739 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑗𝐴)))
181eleq1d 2683 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
1917, 18imbi12d 334 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)))
20 fsummulclf.b . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2115, 19, 20chvar 2261 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
229, 10, 21fsummulc1 14452 . 2 (𝜑 → (Σ𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵 · 𝐶) = Σ𝑗𝐴 (𝑗 / 𝑘𝐵 · 𝐶))
23 eqcom 2628 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗𝑗 = 𝑘)
2423imbi1i 339 . . . . . . 7 ((𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵) ↔ (𝑗 = 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵))
25 eqcom 2628 . . . . . . . 8 (𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝐵)
2625imbi2i 326 . . . . . . 7 ((𝑗 = 𝑘𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵) ↔ (𝑗 = 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝐵))
2724, 26bitri 264 . . . . . 6 ((𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵) ↔ (𝑗 = 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝐵))
281, 27mpbi 220 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 = 𝐵)
2928oveq1d 6625 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 / 𝑘𝐵 · 𝐶) = (𝐵 · 𝐶))
30 nfcv 2761 . . . . 5 𝑘 ·
31 nfcv 2761 . . . . 5 𝑘𝐶
325, 30, 31nfov 6636 . . . 4 𝑘(𝑗 / 𝑘𝐵 · 𝐶)
33 nfcv 2761 . . . 4 𝑗(𝐵 · 𝐶)
3429, 3, 2, 32, 33cbvsum 14366 . . 3 Σ𝑗𝐴 (𝑗 / 𝑘𝐵 · 𝐶) = Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶)
3534a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ𝑗𝐴 (𝑗 / 𝑘𝐵 · 𝐶) = Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))
368, 22, 353eqtrd 2659 1 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 · 𝐶) = Σ𝑘𝐴 (𝐵 · 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1987  csb 3518  (class class class)co 6610  Fincfn 7906  cc 9885   · cmul 9892  Σcsu 14357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-sup 8299  df-oi 8366  df-card 8716  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-rp 11784  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-seq 12749  df-exp 12808  df-hash 13065  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-clim 14160  df-sum 14358
This theorem is referenced by:  dvmptfprodlem  39487
  Copyright terms: Public domain W3C validator