MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumneg 14309
Description: Negation of a finite sum. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumneg.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumneg.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumneg (𝜑 → Σ𝑘𝐴 -𝐵 = -Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumneg
StepHypRef Expression
1 fsumneg.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 neg1cn 10973 . . . 4 -1 ∈ ℂ
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → -1 ∈ ℂ)
4 fsumneg.2 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
51, 3, 4fsummulc2 14306 . 2 (𝜑 → (-1 · Σ𝑘𝐴 𝐵) = Σ𝑘𝐴 (-1 · 𝐵))
61, 4fsumcl 14259 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
76mulm1d 10333 . 2 (𝜑 → (-1 · Σ𝑘𝐴 𝐵) = -Σ𝑘𝐴 𝐵)
84mulm1d 10333 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → (-1 · 𝐵) = -𝐵)
98sumeq2dv 14229 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (-1 · 𝐵) = Σ𝑘𝐴 -𝐵)
105, 7, 93eqtr3rd 2652 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 -𝐵 = -Σ𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  (class class class)co 6526  Fincfn 7818  cc 9790  1c1 9793   · cmul 9797  -cneg 10118  Σcsu 14212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-se 4987  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-isom 5798  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10536  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-rp 11667  df-fz 12155  df-fzo 12292  df-seq 12621  df-exp 12680  df-hash 12937  df-cj 13635  df-re 13636  df-im 13637  df-sqrt 13771  df-abs 13772  df-clim 14015  df-sum 14213
This theorem is referenced by:  fsumsub  14310  incexclem  14355  incexc  14356  dvfsumge  23533  dvfsum2  23545  birthdaylem3  24424  amgmlem  24460  rpvmasum2  24945  pntrsumo1  24998  pntrlog2bndlem2  25011  pntrlog2bndlem4  25013  pntpbnd1  25019  amgmwlem  42299
  Copyright terms: Public domain W3C validator