Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumnncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumnncl 39235
Description: Closure of a non empty, finite sum of positive integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumnncl.an0 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
fsumnncl.afi (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumnncl.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
fsumnncl (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℕ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumnncl
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumnncl.afi . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 fsumnncl.b . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ)
32nnnn0d 11303 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ0)
41, 3fsumnn0cl 14408 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℕ0)
5 fsumnncl.an0 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
6 n0 3912 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑗 𝑗𝐴)
75, 6sylib 208 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑗 𝑗𝐴)
8 0red 9993 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → 0 ∈ ℝ)
9 nfv 1840 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝜑𝑗𝐴)
10 nfcsb1v 3534 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
1110nfel1 2775 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℕ
129, 11nfim 1822 . . . . . . . . . . 11 𝑘((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℕ)
13 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝐴𝑗𝐴))
1413anbi2d 739 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑗𝐴)))
15 csbeq1a 3527 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
1615eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℕ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℕ))
1714, 16imbi12d 334 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ) ↔ ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℕ)))
1812, 17, 2chvar 2261 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℕ)
1918nnred 10987 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
208, 19readdcld 10021 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → (0 + 𝑗 / 𝑘𝐵) ∈ ℝ)
21 diffi 8144 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
221, 21syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
23 eldifi 3715 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗}) → 𝑘𝐴)
2423adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝑘𝐴)
2524, 3syldan 487 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝐵 ∈ ℕ0)
2622, 25fsumnn0cl 14408 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 ∈ ℕ0)
2726nn0red 11304 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 ∈ ℝ)
2827adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 ∈ ℝ)
2928, 19readdcld 10021 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐵) ∈ ℝ)
3018nnrpd 11822 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ+)
318, 30ltaddrpd 11857 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → 0 < (0 + 𝑗 / 𝑘𝐵))
3226nn0ge0d 11306 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵)
3332adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵)
348, 28, 19, 33leadd1dd 10593 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → (0 + 𝑗 / 𝑘𝐵) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐵))
358, 20, 29, 31, 34ltletrd 10149 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → 0 < (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐵))
36 difsnid 4315 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗}) = 𝐴)
3736adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗}) = 𝐴)
3837eqcomd 2627 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗}))
3938sumeq1d 14373 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗})𝐵)
4022adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
41 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗𝐴)
42 neldifsnd 4296 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → ¬ 𝑗 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗}))
43 simpl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝜑)
4443, 24, 2syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝐵 ∈ ℕ)
4544nncnd 10988 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝐵 ∈ ℂ)
4645adantlr 750 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝐵 ∈ ℂ)
47 nnsscn 10977 . . . . . . . . . . 11 ℕ ⊆ ℂ
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝐴) → ℕ ⊆ ℂ)
4948, 18sseldd 3588 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
509, 10, 40, 41, 42, 46, 15, 49fsumsplitsn 14415 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → Σ𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐵))
5139, 50eqtr2d 2656 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐵) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
5235, 51breqtrd 4644 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝐴) → 0 < Σ𝑘𝐴 𝐵)
5352ex 450 . . . . 5 (𝜑 → (𝑗𝐴 → 0 < Σ𝑘𝐴 𝐵))
5453exlimdv 1858 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑗 𝑗𝐴 → 0 < Σ𝑘𝐴 𝐵))
557, 54mpd 15 . . 3 (𝜑 → 0 < Σ𝑘𝐴 𝐵)
564, 55jca 554 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 0 < Σ𝑘𝐴 𝐵))
57 elnnnn0b 11289 . 2 𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℕ ↔ (Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 0 < Σ𝑘𝐴 𝐵))
5856, 57sylibr 224 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  csb 3518  cdif 3556  cun 3557  wss 3559  c0 3896  {csn 4153   class class class wbr 4618  (class class class)co 6610  Fincfn 7907  cc 9886  cr 9887  0cc0 9888   + caddc 9891   < clt 10026  cle 10027  cn 10972  0cn0 11244  Σcsu 14358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-oi 8367  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-sum 14359
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator