Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumnncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumnncl 41728
Description: Closure of a nonempty, finite sum of positive integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumnncl.an0 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
fsumnncl.afi (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumnncl.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
fsumnncl (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℕ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumnncl
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumnncl.afi . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 fsumnncl.b . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ)
32nnnn0d 11943 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ0)
41, 3fsumnn0cl 15081 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℕ0)
5 fsumnncl.an0 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
6 n0 4307 . . . . 5 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑗 𝑗𝐴)
75, 6sylib 219 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑗 𝑗𝐴)
8 0red 10632 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → 0 ∈ ℝ)
9 nfv 1906 . . . . . . . . . . . 12 𝑘(𝜑𝑗𝐴)
10 nfcsb1v 3904 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
1110nfel1 2991 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℕ
129, 11nfim 1888 . . . . . . . . . . 11 𝑘((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℕ)
13 eleq1w 2892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝐴𝑗𝐴))
1413anbi2d 628 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝐴) ↔ (𝜑𝑗𝐴)))
15 csbeq1a 3894 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
1615eleq1d 2894 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℕ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℕ))
1714, 16imbi12d 346 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℕ) ↔ ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℕ)))
1812, 17, 2chvarfv 2232 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℕ)
1918nnred 11641 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ)
208, 19readdcld 10658 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → (0 + 𝑗 / 𝑘𝐵) ∈ ℝ)
21 diffi 8738 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
221, 21syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
23 eldifi 4100 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗}) → 𝑘𝐴)
2423adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝑘𝐴)
2524, 3syldan 591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝐵 ∈ ℕ0)
2622, 25fsumnn0cl 15081 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 ∈ ℕ0)
2726nn0red 11944 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 ∈ ℝ)
2827adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 ∈ ℝ)
2928, 19readdcld 10658 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐵) ∈ ℝ)
3018nnrpd 12417 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℝ+)
318, 30ltaddrpd 12452 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → 0 < (0 + 𝑗 / 𝑘𝐵))
3226nn0ge0d 11946 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵)
3332adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵)
348, 28, 19, 33leadd1dd 11242 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → (0 + 𝑗 / 𝑘𝐵) ≤ (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐵))
358, 20, 29, 31, 34ltletrd 10788 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → 0 < (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐵))
36 difsnid 4735 . . . . . . . . . . 11 (𝑗𝐴 → ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗}) = 𝐴)
3736adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝐴) → ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗}) = 𝐴)
3837eqcomd 2824 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝐴 = ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗}))
3938sumeq1d 15046 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗})𝐵)
4022adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐴 ∖ {𝑗}) ∈ Fin)
41 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗𝐴)
42 neldifsnd 4718 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → ¬ 𝑗 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗}))
43 simpl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝜑)
4443, 24, 2syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝐵 ∈ ℕ)
4544nncnd 11642 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝐵 ∈ ℂ)
4645adantlr 711 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝐴) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})) → 𝐵 ∈ ℂ)
47 nnsscn 11631 . . . . . . . . . . 11 ℕ ⊆ ℂ
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗𝐴) → ℕ ⊆ ℂ)
4948, 18sseldd 3965 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
509, 10, 40, 41, 42, 46, 15, 49fsumsplitsn 15088 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝐴) → Σ𝑘 ∈ ((𝐴 ∖ {𝑗}) ∪ {𝑗})𝐵 = (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐵))
5139, 50eqtr2d 2854 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝐴) → (Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝑗})𝐵 + 𝑗 / 𝑘𝐵) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
5235, 51breqtrd 5083 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝐴) → 0 < Σ𝑘𝐴 𝐵)
5352ex 413 . . . . 5 (𝜑 → (𝑗𝐴 → 0 < Σ𝑘𝐴 𝐵))
5453exlimdv 1925 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑗 𝑗𝐴 → 0 < Σ𝑘𝐴 𝐵))
557, 54mpd 15 . . 3 (𝜑 → 0 < Σ𝑘𝐴 𝐵)
564, 55jca 512 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 0 < Σ𝑘𝐴 𝐵))
57 elnnnn0b 11929 . 2 𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℕ ↔ (Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 0 < Σ𝑘𝐴 𝐵))
5856, 57sylibr 235 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wne 3013  csb 3880  cdif 3930  cun 3931  wss 3933  c0 4288  {csn 4557   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  Fincfn 8497  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525   + caddc 10528   < clt 10663  cle 10664  cn 11626  0cn0 11885  Σcsu 15030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator