Theorem fsump1slem 6958

Description: Lemma for fsump1s 6959.

Hypothesis

Ref	Expression
fsump1slem.1	⊢ A ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fsump1slem	⊢ (N ∈ (ℤ≥ ‘M) → Σk ∈ (M...(N + 1))A = (Σk ∈ (M...N)A + [(N + 1) / k]A))

Proof of Theorem fsump1slem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3959	. . . . 5 ⊢ (j = N → (j + 1) = (N + 1))
2	1	opreq2d 3967	. . . 4 ⊢ (j = N → (M...(j + 1)) = (M...(N + 1)))
3	2	sumeq1d 6936	. . 3 ⊢ (j = N → Σk ∈ (M...(j + 1))A = Σk ∈ (M...(N + 1))A)
4		opreq2 3960	. . . . 5 ⊢ (j = N → (M...j) = (M...N))
5	4	sumeq1d 6936	. . . 4 ⊢ (j = N → Σk ∈ (M...j)A = Σk ∈ (M...N)A)
6	1	csbeq1d 2000	. . . 4 ⊢ (j = N → [(j + 1) / k]A = [(N + 1) / k]A)
7	5, 6	opreq12d 3969	. . 3 ⊢ (j = N → (Σk ∈ (M...j)A + [(j + 1) / k]A) = (Σk ∈ (M...N)A + [(N + 1) / k]A))
8	3, 7	eqeq12d 1486	. 2 ⊢ (j = N → (Σk ∈ (M...(j + 1))A = (Σk ∈ (M...j)A + [(j + 1) / k]A) ↔ Σk ∈ (M...(N + 1))A = (Σk ∈ (M...N)A + [(N + 1) / k]A)))
9		fsump1slem.1	. . 3 ⊢ A ∈ V
10		oprex 3974	. . . 4 ⊢ (j + 1) ∈ V
11	10, 9	csbex 2005	. . 3 ⊢ [(j + 1) / k]A ∈ V
12		ax-17 969	. . . 4 ⊢ (x ∈ (j + 1) → ∀k x ∈ (j + 1))
13	10, 12	hbcsb1 2021	. . 3 ⊢ (x ∈ [(j + 1) / k]A → ∀k x ∈ [(j + 1) / k]A)
14		csbeq1a 2002	. . 3 ⊢ (k = (j + 1) → A = [(j + 1) / k]A)
15	9, 11, 13, 14	fsump1f 6957	. 2 ⊢ (j ∈ (ℤ≥ ‘M) → Σk ∈ (M...(j + 1))A = (Σk ∈ (M...j)A + [(j + 1) / k]A))
16	8, 15	vtoclga 1848	1 ⊢ (N ∈ (ℤ≥ ‘M) → Σk ∈ (M...(N + 1))A = (Σk ∈ (M...N)A + [(N + 1) / k]A))

Syntax hints:   → wi 3   = wceq 954   ∈ wcel 956  Vcvv 1807  [csb 1997   ‘cfv 3177  (class class class)co 3954  1c1 5215   + caddc 5217  ℤ_≥cuz 6357  ...cfz 6407  Σcsu 6925

This theorem is referenced by:  fsump1s 6959  fsum2 6969  fsum3 6970  fsum4 6971  csbfsumlem 6972  fsumcnlem 7939

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-n 5881  df-n0 6055  df-z 6091  df-seq1 6253  df-shft 6286  df-uz 6358  df-fz 6408  df-seqz 6473  df-sum 6926

Copyright terms: Public domain