Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumshftd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumshftd 33058
Description: Index shift of a finite sum with a weaker "implicit substitution" hypothesis than fsumshft 14300. The proof demonstrates how this can be derived starting from from fsumshft 14300. (Contributed by NM, 1-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumshftd.1 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
fsumshftd.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
fsumshftd.3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
fsumshftd.4 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumshftd.5 ((𝜑𝑗 = (𝑘𝐾)) → 𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fsumshftd (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑗   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumshftd
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2750 . . 3 𝑤𝐴
2 nfcsb1v 3514 . . 3 𝑗𝑤 / 𝑗𝐴
3 csbeq1a 3507 . . 3 (𝑗 = 𝑤𝐴 = 𝑤 / 𝑗𝐴)
41, 2, 3cbvsumi 14221 . 2 Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)𝑤 / 𝑗𝐴
5 fsumshftd.1 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
6 fsumshftd.2 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 fsumshftd.3 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
8 nfv 1829 . . . . . 6 𝑗(𝜑𝑤 ∈ (𝑀...𝑁))
92nfel1 2764 . . . . . 6 𝑗𝑤 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ
108, 9nfim 1812 . . . . 5 𝑗((𝜑𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑤 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
11 eleq1 2675 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑤 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)))
1211anbi2d 735 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑤 → ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑𝑤 ∈ (𝑀...𝑁))))
133eleq1d 2671 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑤 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑤 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ))
1412, 13imbi12d 332 . . . . 5 (𝑗 = 𝑤 → (((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑤 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)))
15 fsumshftd.4 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
1610, 14, 15chvar 2248 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑤 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
17 csbeq1 3501 . . . 4 (𝑤 = (𝑘𝐾) → 𝑤 / 𝑗𝐴 = (𝑘𝐾) / 𝑗𝐴)
185, 6, 7, 16, 17fsumshft 14300 . . 3 (𝜑 → Σ𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)𝑤 / 𝑗𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))(𝑘𝐾) / 𝑗𝐴)
19 ovex 6555 . . . . . 6 (𝑘𝐾) ∈ V
2019a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐾) ∈ V)
21 fsumshftd.5 . . . . 5 ((𝜑𝑗 = (𝑘𝐾)) → 𝐴 = 𝐵)
2220, 21csbied 3525 . . . 4 (𝜑(𝑘𝐾) / 𝑗𝐴 = 𝐵)
2322sumeq2sdv 14228 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))(𝑘𝐾) / 𝑗𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))𝐵)
2418, 23eqtrd 2643 . 2 (𝜑 → Σ𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)𝑤 / 𝑗𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))𝐵)
254, 24syl5eq 2655 1 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172  csb 3498  (class class class)co 6527  cc 9790   + caddc 9795  cmin 10117  cz 11210  ...cfz 12152  Σcsu 14210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-sum 14211
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator