Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumshftd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumshftd 35968
Description: Index shift of a finite sum with a weaker "implicit substitution" hypothesis than fsumshft 15123. The proof demonstrates how this can be derived starting from from fsumshft 15123. (Contributed by NM, 1-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumshftd.1 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
fsumshftd.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
fsumshftd.3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
fsumshftd.4 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumshftd.5 ((𝜑𝑗 = (𝑘𝐾)) → 𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fsumshftd (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑗   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumshftd
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2974 . . 3 𝑤𝐴
2 nfcsb1v 3904 . . 3 𝑗𝑤 / 𝑗𝐴
3 csbeq1a 3894 . . 3 (𝑗 = 𝑤𝐴 = 𝑤 / 𝑗𝐴)
41, 2, 3cbvsumi 15042 . 2 Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)𝑤 / 𝑗𝐴
5 fsumshftd.1 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
6 fsumshftd.2 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 fsumshftd.3 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
8 nfv 1906 . . . . . 6 𝑗(𝜑𝑤 ∈ (𝑀...𝑁))
92nfel1 2991 . . . . . 6 𝑗𝑤 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ
108, 9nfim 1888 . . . . 5 𝑗((𝜑𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑤 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
11 eleq1w 2892 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑤 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)))
1211anbi2d 628 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑤 → ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑𝑤 ∈ (𝑀...𝑁))))
133eleq1d 2894 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑤 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑤 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ))
1412, 13imbi12d 346 . . . . 5 (𝑗 = 𝑤 → (((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑤 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)))
15 fsumshftd.4 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
1610, 14, 15chvarfv 2232 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑤 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
17 csbeq1 3883 . . . 4 (𝑤 = (𝑘𝐾) → 𝑤 / 𝑗𝐴 = (𝑘𝐾) / 𝑗𝐴)
185, 6, 7, 16, 17fsumshft 15123 . . 3 (𝜑 → Σ𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)𝑤 / 𝑗𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))(𝑘𝐾) / 𝑗𝐴)
19 ovexd 7180 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝐾) ∈ V)
20 fsumshftd.5 . . . . 5 ((𝜑𝑗 = (𝑘𝐾)) → 𝐴 = 𝐵)
2119, 20csbied 3916 . . . 4 (𝜑(𝑘𝐾) / 𝑗𝐴 = 𝐵)
2221sumeq2sdv 15049 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))(𝑘𝐾) / 𝑗𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))𝐵)
2318, 22eqtrd 2853 . 2 (𝜑 → Σ𝑤 ∈ (𝑀...𝑁)𝑤 / 𝑗𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))𝐵)
244, 23syl5eq 2865 1 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  csb 3880  (class class class)co 7145  cc 10523   + caddc 10528  cmin 10858  cz 11969  ...cfz 12880  Σcsu 15030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator