Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumshftdOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumshftdOLD 33739
 Description: Obsolete version of fsumshftd 33738 as of 1-Nov-2019. (Contributed by NM, 1-Nov-2019.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumshftd.1 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
fsumshftd.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
fsumshftd.3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
fsumshftd.4 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumshftd.5 ((𝜑𝑗 = (𝑘𝐾)) → 𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fsumshftdOLD (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑗   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumshftdOLD
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsumshftd.1 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
2 fsumshftd.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
3 fsumshftd.3 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4 nfv 1840 . . . . 5 𝑗(𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
5 nfcsb1v 3531 . . . . . 6 𝑗𝑥 / 𝑗𝐴
65nfel1 2775 . . . . 5 𝑗𝑥 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ
74, 6nfim 1822 . . . 4 𝑗((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
8 eleq1 2686 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑥 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)))
98anbi2d 739 . . . . 5 (𝑗 = 𝑥 → ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))))
10 csbeq1a 3524 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑥𝐴 = 𝑥 / 𝑗𝐴)
1110eleq1d 2683 . . . . 5 (𝑗 = 𝑥 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑥 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ))
129, 11imbi12d 334 . . . 4 (𝑗 = 𝑥 → (((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)))
13 fsumshftd.4 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
147, 12, 13chvar 2261 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 / 𝑗𝐴 ∈ ℂ)
15 csbeq1 3518 . . 3 (𝑥 = (𝑦𝐾) → 𝑥 / 𝑗𝐴 = (𝑦𝐾) / 𝑗𝐴)
161, 2, 3, 14, 15fsumshft 14443 . 2 (𝜑 → Σ𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 / 𝑗𝐴 = Σ𝑦 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))(𝑦𝐾) / 𝑗𝐴)
17 nfcv 2761 . . . . 5 𝑥𝐴
1817, 5, 10cbvsumi 14364 . . . 4 Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 / 𝑗𝐴
1918eqcomi 2630 . . 3 Σ𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 / 𝑗𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴
2019a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)𝑥 / 𝑗𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴)
21 nfcv 2761 . . . 4 𝑦(𝑘𝐾) / 𝑗𝐴
22 nfcv 2761 . . . 4 𝑘(𝑦𝐾) / 𝑗𝐴
23 oveq1 6614 . . . . 5 (𝑘 = 𝑦 → (𝑘𝐾) = (𝑦𝐾))
2423csbeq1d 3522 . . . 4 (𝑘 = 𝑦(𝑘𝐾) / 𝑗𝐴 = (𝑦𝐾) / 𝑗𝐴)
2521, 22, 24cbvsumi 14364 . . 3 Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))(𝑘𝐾) / 𝑗𝐴 = Σ𝑦 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))(𝑦𝐾) / 𝑗𝐴
26 ovex 6635 . . . . . 6 (𝑘𝐾) ∈ V
2726a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (𝑘𝐾) ∈ V)
28 fsumshftd.5 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 = (𝑘𝐾)) → 𝐴 = 𝐵)
2928adantlr 750 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) ∧ 𝑗 = (𝑘𝐾)) → 𝐴 = 𝐵)
3027, 29csbied 3542 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (𝑘𝐾) / 𝑗𝐴 = 𝐵)
3130sumeq2dv 14370 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))(𝑘𝐾) / 𝑗𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))𝐵)
3225, 31syl5eqr 2669 . 2 (𝜑 → Σ𝑦 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))(𝑦𝐾) / 𝑗𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))𝐵)
3316, 20, 323eqtr3d 2663 1 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186  ⦋csb 3515  (class class class)co 6607  ℂcc 9881   + caddc 9886   − cmin 10213  ℤcz 11324  ...cfz 12271  Σcsu 14353 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-oadd 7512  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-sup 8295  df-oi 8362  df-card 8712  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-rp 11780  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-seq 12745  df-exp 12804  df-hash 13061  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-clim 14156  df-sum 14354 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator