MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumsplit 14266
Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsplit.1 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
fsumsplit.2 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
fsumsplit.3 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
fsumsplit.4 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumsplit (𝜑 → Σ𝑘𝑈 𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑈,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplit
StepHypRef Expression
1 ssun1 3737 . . . . 5 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
2 fsumsplit.2 . . . . 5 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
31, 2syl5sseqr 3616 . . . 4 (𝜑𝐴𝑈)
43sselda 3567 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑘𝑈)
5 fsumsplit.4 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
64, 5syldan 485 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
76ralrimiva 2948 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
8 fsumsplit.3 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
98olcd 406 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 ⊆ (ℤ‘0) ∨ 𝑈 ∈ Fin))
10 sumss2 14252 . . . 4 (((𝐴𝑈 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑈 ⊆ (ℤ‘0) ∨ 𝑈 ∈ Fin)) → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
113, 7, 9, 10syl21anc 1316 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0))
12 ssun2 3738 . . . . 5 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
1312, 2syl5sseqr 3616 . . . 4 (𝜑𝐵𝑈)
1413sselda 3567 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝑘𝑈)
1514, 5syldan 485 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
1615ralrimiva 2948 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ)
17 sumss2 14252 . . . 4 (((𝐵𝑈 ∧ ∀𝑘𝐵 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝑈 ⊆ (ℤ‘0) ∨ 𝑈 ∈ Fin)) → Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
1813, 16, 9, 17syl21anc 1316 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐵 𝐶 = Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0))
1911, 18oveq12d 6544 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶) = (Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
20 0cn 9888 . . . 4 0 ∈ ℂ
21 ifcl 4079 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
225, 20, 21sylancl 692 . . 3 ((𝜑𝑘𝑈) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
23 ifcl 4079 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
245, 20, 23sylancl 692 . . 3 ((𝜑𝑘𝑈) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) ∈ ℂ)
258, 22, 24fsumadd 14265 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑈 (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = (Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + Σ𝑘𝑈 if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)))
262eleq2d 2672 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝑈𝑘 ∈ (𝐴𝐵)))
27 elun 3714 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
2826, 27syl6bb 274 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘𝑈 ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
2928biimpa 499 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑈) → (𝑘𝐴𝑘𝐵))
30 iftrue 4041 . . . . . . . 8 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
3130adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
32 noel 3877 . . . . . . . . . . 11 ¬ 𝑘 ∈ ∅
33 elin 3757 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
34 fsumsplit.1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
3534eleq2d 2672 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝑘 ∈ ∅))
3633, 35syl5rbbr 273 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑘 ∈ ∅ ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
3732, 36mtbii 314 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
38 imnan 436 . . . . . . . . . 10 ((𝑘𝐴 → ¬ 𝑘𝐵) ↔ ¬ (𝑘𝐴𝑘𝐵))
3937, 38sylibr 222 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝐴 → ¬ 𝑘𝐵))
4039imp 443 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ 𝑘𝐵)
4140iffalsed 4046 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) = 0)
4231, 41oveq12d 6544 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = (𝐶 + 0))
436addid1d 10087 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶 + 0) = 𝐶)
4442, 43eqtrd 2643 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
4539con2d 127 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑘𝐵 → ¬ 𝑘𝐴))
4645imp 443 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐵) → ¬ 𝑘𝐴)
4746iffalsed 4046 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) = 0)
48 iftrue 4041 . . . . . . . 8 (𝑘𝐵 → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
4948adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐵) → if(𝑘𝐵, 𝐶, 0) = 𝐶)
5047, 49oveq12d 6544 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = (0 + 𝐶))
5115addid2d 10088 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐵) → (0 + 𝐶) = 𝐶)
5250, 51eqtrd 2643 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐵) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
5344, 52jaodan 821 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑘𝐴𝑘𝐵)) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
5429, 53syldan 485 . . 3 ((𝜑𝑘𝑈) → (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = 𝐶)
5554sumeq2dv 14229 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑈 (if(𝑘𝐴, 𝐶, 0) + if(𝑘𝐵, 𝐶, 0)) = Σ𝑘𝑈 𝐶)
5619, 25, 553eqtr2rd 2650 1 (𝜑 → Σ𝑘𝑈 𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 381  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  cun 3537  cin 3538  wss 3539  c0 3873  ifcif 4035  cfv 5789  (class class class)co 6526  Fincfn 7818  cc 9790  0cc0 9792   + caddc 9795  cuz 11521  Σcsu 14212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-se 4987  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-isom 5798  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10536  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-rp 11667  df-fz 12155  df-fzo 12292  df-seq 12621  df-exp 12680  df-hash 12937  df-cj 13635  df-re 13636  df-im 13637  df-sqrt 13771  df-abs 13772  df-clim 14015  df-sum 14213
This theorem is referenced by:  sumpr  14269  sumtp  14270  fsumm1  14272  fsum1p  14274  fsumsplitsnun  14276  fsum2dlem  14291  fsumless  14317  fsumabs  14322  fsumrlim  14332  fsumo1  14333  o1fsum  14334  cvgcmpce  14339  fsumiun  14342  incexclem  14355  incexc  14356  isumltss  14367  climcndslem1  14368  climcndslem2  14369  mertenslem1  14403  bitsinv1  14950  bitsinvp1  14957  sylow2a  17805  fsumcn  22428  ovolfiniun  23020  volfiniun  23066  uniioombllem3  23103  itgfsum  23343  dvmptfsum  23486  vieta1lem2  23814  mtest  23906  birthdaylem2  24423  fsumharmonic  24482  ftalem5  24547  chtprm  24623  chtdif  24628  perfectlem2  24699  lgsquadlem2  24850  dchrisumlem1  24922  dchrisumlem2  24923  rpvmasum2  24945  dchrisum0lem1b  24948  dchrisum0lem3  24952  pntrsumbnd2  25000  pntrlog2bndlem6  25016  pntpbnd2  25020  pntlemf  25038  axlowdimlem16  25582  axlowdimlem17  25583  signsplypnf  29746  jm2.22  36363  jm2.23  36364  sumpair  38000  fsumsplitf  38417  sumnnodd  38480  stoweidlem11  38687  stoweidlem26  38702  stoweidlem44  38720  sge0resplit  39082  sge0split  39085  perfectALTVlem2  39949  fsumsplitsndif  40201
  Copyright terms: Public domain W3C validator