Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumsplitf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumsplitf 39200
Description: Split a sum into two parts. A version of fsumsplit 14404 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsplitf.ph 𝑘𝜑
fsumsplitf.ab (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
fsumsplitf.u (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
fsumsplitf.fi (𝜑𝑈 ∈ Fin)
fsumsplitf.c ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumsplitf (𝜑 → Σ𝑘𝑈 𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑈,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplitf
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 csbeq1a 3523 . . . 4 (𝑘 = 𝑗𝐶 = 𝑗 / 𝑘𝐶)
2 nfcv 2761 . . . 4 𝑗𝑈
3 nfcv 2761 . . . 4 𝑘𝑈
4 nfcv 2761 . . . 4 𝑗𝐶
5 nfcsb1v 3530 . . . 4 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶
61, 2, 3, 4, 5cbvsum 14359 . . 3 Σ𝑘𝑈 𝐶 = Σ𝑗𝑈 𝑗 / 𝑘𝐶
76a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝑈 𝐶 = Σ𝑗𝑈 𝑗 / 𝑘𝐶)
8 fsumsplitf.ab . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
9 fsumsplitf.u . . 3 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
10 fsumsplitf.fi . . 3 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
11 fsumsplitf.ph . . . . . 6 𝑘𝜑
12 nfv 1840 . . . . . 6 𝑘 𝑗𝑈
1311, 12nfan 1825 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑗𝑈)
145nfel1 2775 . . . . 5 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ
1513, 14nfim 1822 . . . 4 𝑘((𝜑𝑗𝑈) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
16 eleq1 2686 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑈𝑗𝑈))
1716anbi2d 739 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑈) ↔ (𝜑𝑗𝑈)))
181eleq1d 2683 . . . . 5 (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ))
1917, 18imbi12d 334 . . . 4 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝑈) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)))
20 fsumsplitf.c . . . 4 ((𝜑𝑘𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
2115, 19, 20chvar 2261 . . 3 ((𝜑𝑗𝑈) → 𝑗 / 𝑘𝐶 ∈ ℂ)
228, 9, 10, 21fsumsplit 14404 . 2 (𝜑 → Σ𝑗𝑈 𝑗 / 𝑘𝐶 = (Σ𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 + Σ𝑗𝐵 𝑗 / 𝑘𝐶))
23 csbeq1a 3523 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶 = 𝑘 / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐶)
24 csbco 3524 . . . . . . . . 9 𝑘 / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐶 = 𝑘 / 𝑘𝐶
25 csbid 3522 . . . . . . . . 9 𝑘 / 𝑘𝐶 = 𝐶
2624, 25eqtri 2643 . . . . . . . 8 𝑘 / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐶 = 𝐶
2726a1i 11 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘𝑘 / 𝑗𝑗 / 𝑘𝐶 = 𝐶)
2823, 27eqtrd 2655 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘𝑗 / 𝑘𝐶 = 𝐶)
29 nfcv 2761 . . . . . 6 𝑘𝐴
30 nfcv 2761 . . . . . 6 𝑗𝐴
3128, 29, 30, 5, 4cbvsum 14359 . . . . 5 Σ𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 = Σ𝑘𝐴 𝐶
32 eqid 2621 . . . . 5 Σ𝑘𝐴 𝐶 = Σ𝑘𝐴 𝐶
3331, 32eqtri 2643 . . . 4 Σ𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 = Σ𝑘𝐴 𝐶
345, 4, 28cbvsumi 14361 . . . 4 Σ𝑗𝐵 𝑗 / 𝑘𝐶 = Σ𝑘𝐵 𝐶
3533, 34oveq12i 6616 . . 3 𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 + Σ𝑗𝐵 𝑗 / 𝑘𝐶) = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶)
3635a1i 11 . 2 (𝜑 → (Σ𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐶 + Σ𝑗𝐵 𝑗 / 𝑘𝐶) = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶))
377, 22, 363eqtrd 2659 1 (𝜑 → Σ𝑘𝑈 𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘𝐵 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wnf 1705  wcel 1987  csb 3514  cun 3553  cin 3554  c0 3891  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  cc 9878   + caddc 9883  Σcsu 14350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351
This theorem is referenced by:  fsumsplitsn  39203
  Copyright terms: Public domain W3C validator