MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumsplitsnun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumsplitsnun 14414
Description: Separate out a term in a finite sum by splitting the sum into two parts. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
fsumsplitsnun ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑧,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐵(𝑧,𝑘)

Proof of Theorem fsumsplitsnun
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nel 2894 . . . . . 6 (𝑧𝐴 ↔ ¬ 𝑧𝐴)
2 disjsn 4216 . . . . . 6 ((𝐴 ∩ {𝑧}) = ∅ ↔ ¬ 𝑧𝐴)
31, 2sylbb2 228 . . . . 5 (𝑧𝐴 → (𝐴 ∩ {𝑧}) = ∅)
433ad2ant2 1081 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∩ {𝑧}) = ∅)
5 eqidd 2622 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∪ {𝑧}) = (𝐴 ∪ {𝑧}))
6 snfi 7982 . . . . . 6 {𝑧} ∈ Fin
7 unfi 8171 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝑧} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
86, 7mpan2 706 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
983ad2ant1 1080 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 ∪ {𝑧}) ∈ Fin)
10 rspcsbela 3978 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
1110expcom 451 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧}) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ))
12113ad2ant3 1082 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧}) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ))
1312imp 445 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
1413zcnd 11427 . . . 4 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})) → 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
154, 5, 9, 14fsumsplit 14404 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝑥 / 𝑘𝐵 = (Σ𝑥𝐴 𝑥 / 𝑘𝐵 + Σ𝑥 ∈ {𝑧}𝑥 / 𝑘𝐵))
16 nfcv 2761 . . . 4 𝑥𝐵
17 nfcsb1v 3530 . . . 4 𝑘𝑥 / 𝑘𝐵
18 csbeq1a 3523 . . . 4 (𝑘 = 𝑥𝐵 = 𝑥 / 𝑘𝐵)
1916, 17, 18cbvsumi 14361 . . 3 Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 = Σ𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝑥 / 𝑘𝐵
2016, 17, 18cbvsumi 14361 . . . 4 Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑥𝐴 𝑥 / 𝑘𝐵
2116, 17, 18cbvsumi 14361 . . . 4 Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = Σ𝑥 ∈ {𝑧}𝑥 / 𝑘𝐵
2220, 21oveq12i 6616 . . 3 𝑘𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵) = (Σ𝑥𝐴 𝑥 / 𝑘𝐵 + Σ𝑥 ∈ {𝑧}𝑥 / 𝑘𝐵)
2315, 19, 223eqtr4g 2680 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵))
24 vex 3189 . . . 4 𝑧 ∈ V
25 vsnid 4180 . . . . . . . 8 𝑧 ∈ {𝑧}
26 elun2 3759 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {𝑧} → 𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧}))
2725, 26ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})
28 rspcsbela 3978 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧}) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
2927, 28mpan 705 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
3029zcnd 11427 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
31303ad2ant3 1082 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
32 sumsns 14409 . . . 4 ((𝑧 ∈ V ∧ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵)
3324, 31, 32sylancr 694 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵)
3433oveq2d 6620 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → (Σ𝑘𝐴 𝐵 + Σ𝑘 ∈ {𝑧}𝐵) = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
3523, 34eqtrd 2655 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wnel 2893  wral 2907  Vcvv 3186  csb 3514  cun 3553  cin 3554  c0 3891  {csn 4148  (class class class)co 6604  Fincfn 7899  cc 9878   + caddc 9883  cz 11321  Σcsu 14350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351
This theorem is referenced by:  modfsummods  14452  sumeven  15034  sumodd  15035
  Copyright terms: Public domain W3C validator