MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumsub 14459
Description: Split a finite sum over a subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumneg.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumneg.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fsumsub.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumsub (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵𝐶) = (Σ𝑘𝐴 𝐵 − Σ𝑘𝐴 𝐶))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumsub
StepHypRef Expression
1 fsumneg.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 fsumneg.2 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
3 fsumsub.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
43negcld 10331 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → -𝐶 ∈ ℂ)
51, 2, 4fsumadd 14411 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵 + -𝐶) = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + Σ𝑘𝐴 -𝐶))
61, 3fsumneg 14458 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 -𝐶 = -Σ𝑘𝐴 𝐶)
76oveq2d 6626 . . 3 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 + Σ𝑘𝐴 -𝐶) = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + -Σ𝑘𝐴 𝐶))
85, 7eqtrd 2655 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵 + -𝐶) = (Σ𝑘𝐴 𝐵 + -Σ𝑘𝐴 𝐶))
92, 3negsubd 10350 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐵 + -𝐶) = (𝐵𝐶))
109sumeq2dv 14375 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵 + -𝐶) = Σ𝑘𝐴 (𝐵𝐶))
111, 2fsumcl 14405 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
121, 3fsumcl 14405 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℂ)
1311, 12negsubd 10350 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐵 + -Σ𝑘𝐴 𝐶) = (Σ𝑘𝐴 𝐵 − Σ𝑘𝐴 𝐶))
148, 10, 133eqtr3d 2663 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐵𝐶) = (Σ𝑘𝐴 𝐵 − Σ𝑘𝐴 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  (class class class)co 6610  Fincfn 7907  cc 9886   + caddc 9891  cmin 10218  -cneg 10219  Σcsu 14358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-sup 8300  df-oi 8367  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-sum 14359
This theorem is referenced by:  fsumle  14469  fsumlt  14470  telfsumo  14472  fsumparts  14476  mertens  14554  bpolydiflem  14721  3dvds  14987  3dvdsOLD  14988  pcfac  15538  pcbc  15539  ramcl  15668  ovolicc2lem4  23211  dvfsumabs  23707  coeeulem  23901  birthdaylem2  24596  emcllem5  24643  lgamcvg2  24698  chpub  24862  logfaclbnd  24864  lgsquadlem1  25022  vmadivsum  25088  rpvmasumlem  25093  dchrmusum2  25100  dchrvmasumiflem2  25108  rpvmasum2  25118  dchrisum0lem2a  25123  dchrisum0lem2  25124  rplogsum  25133  mulogsumlem  25137  mulogsum  25138  mulog2sumlem1  25140  mulog2sumlem2  25141  mulog2sumlem3  25142  vmalogdivsum2  25144  vmalogdivsum  25145  2vmadivsumlem  25146  logsqvma  25148  selberglem1  25151  selberg3lem1  25163  selberg4lem1  25166  pntrsumo1  25171  selbergr  25174  selberg3r  25175  selberg4r  25176  selberg34r  25177  pntrlog2bndlem4  25186  pntrlog2bndlem5  25187  pntlemo  25213  ax5seglem9  25734  fwddifnp1  31949  knoppndvlem11  32190  etransclem46  39830
  Copyright terms: Public domain W3C validator