Theorem fsuppimpd 8143

Description: A finitely supported function is a function with a finite support. (Contributed by AV, 6-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
fsuppimpd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
fsuppimpd	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppimpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppimpd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
2		fsuppimp 8142	. . 3 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
3	2	simprd 478	. 2 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
4	1, 3	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4578  Fun wfun 5784  (class class class)co 6527   supp csupp 7160  Fincfn 7819   finSupp cfsupp 8136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pr 4828

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4368  df-br 4579  df-opab 4639  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fv 5798  df-ov 6530  df-fsupp 8137

This theorem is referenced by:  fsuppsssupp  8152  fsuppxpfi  8153  fsuppun  8155  resfsupp  8163  fsuppmptif  8166  fsuppco  8168  fsuppco2  8169  fsuppcor  8170  cantnfcl  8425  cantnfp1lem1  8436  fsuppmapnn0fiublem  12609  fsuppmapnn0fiub  12610  fsuppmapnn0fiubOLD  12611  fsuppmapnn0ub  12615  gsumzcl  18084  gsumcl  18088  gsumzadd  18094  gsumzmhm  18109  gsumzoppg  18116  gsum2dlem1  18141  gsum2dlem2  18142  gsum2d  18143  gsumdixp  18381  lcomfsupp  18675  mptscmfsupp0  18700  mplcoe1  19235  mplbas2  19240  psrbagev1  19280  evlslem2  19282  evlslem6  19283  regsumsupp  19735  frlmphllem  19886  uvcresum  19899  frlmsslsp  19902  frlmup1  19904  tsmsgsum  21700  rrxcph  22933  rrxfsupp  22938  mdegldg  23575  mdegcl  23578  plypf1  23717  rmfsupp  41941  mndpfsupp  41943  scmfsupp  41945  lincresunit2  42053