Theorem fsuppimpd 8323

Description: A finitely supported function is a function with a finite support. (Contributed by AV, 6-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
fsuppimpd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
fsuppimpd	⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppimpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppimpd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 𝑍)
2		fsuppimp 8322	. . 3 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (Fun 𝐹 ∧ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
3	2	simprd 478	. 2 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
4	1, 3	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2030   class class class wbr 4685  Fun wfun 5920  (class class class)co 6690   supp csupp 7340  Fincfn 7997   finSupp cfsupp 8316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fv 5934  df-ov 6693  df-fsupp 8317

This theorem is referenced by:  fsuppsssupp  8332  fsuppxpfi  8333  fsuppun  8335  resfsupp  8343  fsuppmptif  8346  fsuppco  8348  fsuppco2  8349  fsuppcor  8350  cantnfcl  8602  cantnfp1lem1  8613  fsuppmapnn0fiublem  12829  fsuppmapnn0fiub  12830  fsuppmapnn0fiubOLD  12831  fsuppmapnn0ub  12835  gsumzcl  18358  gsumcl  18362  gsumzadd  18368  gsumzmhm  18383  gsumzoppg  18390  gsum2dlem1  18415  gsum2dlem2  18416  gsum2d  18417  gsumdixp  18655  lcomfsupp  18951  mptscmfsupp0  18976  mplcoe1  19513  mplbas2  19518  psrbagev1  19558  evlslem2  19560  evlslem6  19561  regsumsupp  20016  frlmphllem  20167  uvcresum  20180  frlmsslsp  20183  frlmup1  20185  tsmsgsum  21989  rrxcph  23226  rrxfsupp  23231  mdegldg  23871  mdegcl  23874  plypf1  24013  rmfsupp  42480  mndpfsupp  42482  scmfsupp  42484  lincresunit2  42592