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Theorem fsuppmapnn0fiubOLD 12605
Description: Obsolete proof of fsuppmapnn0fiub 12604 as of 2-Aug-2021. (Contributed by AV, 2-Oct-2019.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppmapnn0fiub.u 𝑈 = 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍)
fsuppmapnn0fiub.s 𝑆 = sup(𝑈, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
fsuppmapnn0fiubOLD ((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → ((∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑀   𝑅,𝑓   𝑈,𝑓   𝑓,𝑉   𝑓,𝑍
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑓)

Proof of Theorem fsuppmapnn0fiubOLD
Dummy variables 𝑥 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1829 . . . 4 𝑓(𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉)
2 nfra1 2921 . . . . 5 𝑓𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍
3 nfv 1829 . . . . 5 𝑓 𝑈 ≠ ∅
42, 3nfan 1815 . . . 4 𝑓(∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)
51, 4nfan 1815 . . 3 𝑓((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅))
6 suppssdm 7169 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ dom 𝑓
7 ssel2 3559 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑓𝑀) → 𝑓 ∈ (𝑅𝑚0))
8 elmapfn 7740 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (𝑅𝑚0) → 𝑓 Fn ℕ0)
9 fndm 5887 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 Fn ℕ0 → dom 𝑓 = ℕ0)
10 eqimss 3616 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom 𝑓 = ℕ0 → dom 𝑓 ⊆ ℕ0)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 Fn ℕ0 → dom 𝑓 ⊆ ℕ0)
127, 8, 113syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑓𝑀) → dom 𝑓 ⊆ ℕ0)
13123ad2antl1 1215 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑓𝑀) → dom 𝑓 ⊆ ℕ0)
146, 13syl5ss 3575 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑓𝑀) → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℕ0)
1514sseld 3563 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝑓𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍) → 𝑥 ∈ ℕ0))
1615adantlr 746 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍) → 𝑥 ∈ ℕ0))
1716imp 443 . . . . . . 7 (((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
18 fsuppmapnn0fiub.u . . . . . . . . . 10 𝑈 = 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍)
19 fsuppmapnn0fiub.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = sup(𝑈, ℝ, < )
2018, 19fsuppmapnn0fiublem 12603 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → ((∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ ℕ0))
2120imp 443 . . . . . . . 8 (((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
2221ad2antrr 757 . . . . . . 7 (((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
237, 8, 93syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑓𝑀) → dom 𝑓 = ℕ0)
2423ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) → (𝑓𝑀 → dom 𝑓 = ℕ0))
25243ad2ant1 1074 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → (𝑓𝑀 → dom 𝑓 = ℕ0))
2625adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → (𝑓𝑀 → dom 𝑓 = ℕ0))
2726imp 443 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) → dom 𝑓 = ℕ0)
28 nn0ssre 11140 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ⊆ ℝ
2927, 28syl6eqss 3614 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) → dom 𝑓 ⊆ ℝ)
306, 29syl5ss 3575 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
3130ex 448 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → (𝑓𝑀 → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ))
325, 31ralrimi 2936 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
3332ad2antrr 757 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
34 iunss 4488 . . . . . . . . . 10 ( 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
3533, 34sylibr 222 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ ℝ)
3618, 35syl5eqss 3608 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑈 ⊆ ℝ)
37 simp2 1054 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → 𝑀 ∈ Fin)
38 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 finSupp 𝑍𝑓 finSupp 𝑍)
3938fsuppimpd 8139 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 finSupp 𝑍 → (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
4039ralimi 2932 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍 → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
4140adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
4237, 41anim12i 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → (𝑀 ∈ Fin ∧ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin))
4342ad2antrr 757 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → (𝑀 ∈ Fin ∧ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin))
44 iunfi 8111 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ Fin ∧ ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin) → 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
4543, 44syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ∈ Fin)
4618, 45syl5eqel 2688 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑈 ∈ Fin)
47 simpr 475 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) → 𝑓𝑀)
48 oveq1 6531 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 = 𝑓 → (𝑔 supp 𝑍) = (𝑓 supp 𝑍))
4948eleq2d 2669 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 = 𝑓 → (𝑥 ∈ (𝑔 supp 𝑍) ↔ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)))
5049adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑔 = 𝑓) → (𝑥 ∈ (𝑔 supp 𝑍) ↔ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)))
5147, 50rspcedv 3282 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍) → ∃𝑔𝑀 𝑥 ∈ (𝑔 supp 𝑍)))
5251imp 443 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → ∃𝑔𝑀 𝑥 ∈ (𝑔 supp 𝑍))
53 oveq1 6531 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 supp 𝑍) = (𝑔 supp 𝑍))
5453eleq2d 2669 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 𝑔 → (𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍) ↔ 𝑥 ∈ (𝑔 supp 𝑍)))
5554cbvrexv 3144 . . . . . . . . . 10 (∃𝑓𝑀 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍) ↔ ∃𝑔𝑀 𝑥 ∈ (𝑔 supp 𝑍))
5652, 55sylibr 222 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → ∃𝑓𝑀 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍))
5718eleq2i 2676 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑈𝑥 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍))
58 eliun 4451 . . . . . . . . . 10 (𝑥 𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ↔ ∃𝑓𝑀 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍))
5957, 58bitri 262 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑈 ↔ ∃𝑓𝑀 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍))
6056, 59sylibr 222 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥𝑈)
6119a1i 11 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑆 = sup(𝑈, ℝ, < ))
6236, 46, 60, 61supfirege 10853 . . . . . . 7 (((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥𝑆)
63 elfz2nn0 12252 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0...𝑆) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0𝑆 ∈ ℕ0𝑥𝑆))
6417, 22, 62, 63syl3anbrc 1238 . . . . . 6 (((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍)) → 𝑥 ∈ (0...𝑆))
6564ex 448 . . . . 5 ((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) → (𝑥 ∈ (𝑓 supp 𝑍) → 𝑥 ∈ (0...𝑆)))
6665ssrdv 3570 . . . 4 ((((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) ∧ 𝑓𝑀) → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆))
6766ex 448 . . 3 (((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → (𝑓𝑀 → (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆)))
685, 67ralrimi 2936 . 2 (((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) ∧ (∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅)) → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆))
6968ex 448 1 ((𝑀 ⊆ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑀 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑉) → ((∀𝑓𝑀 𝑓 finSupp 𝑍𝑈 ≠ ∅) → ∀𝑓𝑀 (𝑓 supp 𝑍) ⊆ (0...𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2776  wral 2892  wrex 2893  wss 3536  c0 3870   ciun 4446   class class class wbr 4574  dom cdm 5025   Fn wfn 5782  (class class class)co 6524   supp csupp 7156  𝑚 cmap 7718  Fincfn 7815   finSupp cfsupp 8132  supcsup 8203  cr 9788  0cc0 9789   < clt 9927  cle 9928  0cn0 11136  ...cfz 12149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-supp 7157  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-oadd 7425  df-er 7603  df-map 7720  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-fsupp 8133  df-sup 8205  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-fz 12150
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