Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppmapnn0ub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsuppmapnn0ub 12743
 Description: If a function over the nonnegative integers is finitely supported, then there is an upper bound for the arguments resulting in nonzero values. (Contributed by AV, 6-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
fsuppmapnn0ub ((𝐹 ∈ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑍𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 𝑍)))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐹,𝑥   𝑥,𝑉   𝑚,𝑍,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑚)   𝑉(𝑚)

Proof of Theorem fsuppmapnn0ub
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . 4 (((𝐹 ∈ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 𝑍) → 𝐹 finSupp 𝑍)
21fsuppimpd 8234 . . 3 (((𝐹 ∈ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑍𝑉) ∧ 𝐹 finSupp 𝑍) → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
32ex 450 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑍𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
4 elmapfn 7832 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅𝑚0) → 𝐹 Fn ℕ0)
54adantr 481 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑍𝑉) → 𝐹 Fn ℕ0)
6 nn0ex 11250 . . . . . 6 0 ∈ V
76a1i 11 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑍𝑉) → ℕ0 ∈ V)
8 simpr 477 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑍𝑉) → 𝑍𝑉)
9 suppvalfn 7254 . . . . 5 ((𝐹 Fn ℕ0 ∧ ℕ0 ∈ V ∧ 𝑍𝑉) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍})
105, 7, 8, 9syl3anc 1323 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑍𝑉) → (𝐹 supp 𝑍) = {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍})
1110eleq1d 2683 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑍𝑉) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ↔ {𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍} ∈ Fin))
12 rabssnn0fi 12733 . . . 4 ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍} ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → ¬ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍))
13 nne 2794 . . . . . . 7 (¬ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍 ↔ (𝐹𝑥) = 𝑍)
1413imbi2i 326 . . . . . 6 ((𝑚 < 𝑥 → ¬ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍) ↔ (𝑚 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 𝑍))
1514ralbii 2975 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → ¬ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 𝑍))
1615rexbii 3035 . . . 4 (∃𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → ¬ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 𝑍))
1712, 16sylbb 209 . . 3 ({𝑥 ∈ ℕ0 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 𝑍} ∈ Fin → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 𝑍))
1811, 17syl6bi 243 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑍𝑉) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 𝑍)))
193, 18syld 47 1 ((𝐹 ∈ (𝑅𝑚0) ∧ 𝑍𝑉) → (𝐹 finSupp 𝑍 → ∃𝑚 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℕ0 (𝑚 < 𝑥 → (𝐹𝑥) = 𝑍)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  ∃wrex 2908  {crab 2911  Vcvv 3189   class class class wbr 4618   Fn wfn 5847  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610   supp csupp 7247   ↑𝑚 cmap 7809  Fincfn 7907   finSupp cfsupp 8227   < clt 10026  ℕ0cn0 11244 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277 This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fz  12744  nn0gsumfz  18312  mptcoe1fsupp  19517  coe1ae0  19518  gsummoncoe1  19606  mptcoe1matfsupp  20539  mp2pm2mplem4  20546  pm2mp  20562  cayhamlem4  20625
 Copyright terms: Public domain W3C validator