Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsuppmptdmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsuppmptdmf 41948
Description: A mapping with a finite domain is finitely supported. (Contributed by AV, 4-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppmptdmf.n 𝑥𝜑
fsuppmptdmf.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝑌)
fsuppmptdmf.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsuppmptdmf.y ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑌𝑉)
fsuppmptdmf.z (𝜑𝑍𝑊)
Assertion
Ref Expression
fsuppmptdmf (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑌(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem fsuppmptdmf
StepHypRef Expression
1 fsuppmptdmf.n . . 3 𝑥𝜑
2 fsuppmptdmf.y . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑌𝑉)
3 fsuppmptdmf.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴𝑌)
41, 2, 3fmptdf 6279 . 2 (𝜑𝐹:𝐴𝑉)
5 fsuppmptdmf.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
6 fsuppmptdmf.z . 2 (𝜑𝑍𝑊)
74, 5, 6fdmfifsupp 8146 1 (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wnf 1699  wcel 1977   class class class wbr 4578  cmpt 4638  Fincfn 7819   finSupp cfsupp 8136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-supp 7161  df-er 7607  df-en 7820  df-fin 7823  df-fsupp 8137
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator