Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppmptif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsuppmptif 8249
 Description: A function mapping an argument to either a value of a finitely supported function or zero is finitely supported. (Contributed by AV, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppmptif.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
fsuppmptif.a (𝜑𝐴𝑉)
fsuppmptif.z (𝜑𝑍𝑊)
fsuppmptif.s (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
Assertion
Ref Expression
fsuppmptif (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) finSupp 𝑍)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑍   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem fsuppmptif
StepHypRef Expression
1 fvex 6158 . . . . 5 (𝐹𝑘) ∈ V
2 fsuppmptif.z . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑊)
32adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑍𝑊)
4 ifexg 4129 . . . . 5 (((𝐹𝑘) ∈ V ∧ 𝑍𝑊) → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍) ∈ V)
51, 3, 4sylancr 694 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍) ∈ V)
6 eqid 2621 . . . 4 (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) = (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍))
75, 6fmptd 6340 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)):𝐴⟶V)
8 ffun 6005 . . 3 ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)):𝐴⟶V → Fun (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)))
97, 8syl 17 . 2 (𝜑 → Fun (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)))
10 fsuppmptif.s . . . 4 (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
1110fsuppimpd 8226 . . 3 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
12 fsuppmptif.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
13 ssid 3603 . . . . . . . 8 (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍)
1413a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))
15 fsuppmptif.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑉)
1612, 14, 15, 2suppssr 7271 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 𝑍))) → (𝐹𝑘) = 𝑍)
1716ifeq1d 4076 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 𝑍))) → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍) = if(𝑘𝐷, 𝑍, 𝑍))
18 ifid 4097 . . . . 5 if(𝑘𝐷, 𝑍, 𝑍) = 𝑍
1917, 18syl6eq 2671 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 𝑍))) → if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍) = 𝑍)
2019, 15suppss2 7274 . . 3 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))
21 ssfi 8124 . . 3 (((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ∧ ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍)) → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) supp 𝑍) ∈ Fin)
2211, 20, 21syl2anc 692 . 2 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) supp 𝑍) ∈ Fin)
23 mptexg 6438 . . . 4 (𝐴𝑉 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) ∈ V)
2415, 23syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) ∈ V)
25 isfsupp 8223 . . 3 (((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) ∈ V ∧ 𝑍𝑊) → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) finSupp 𝑍 ↔ (Fun (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) ∧ ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) supp 𝑍) ∈ Fin)))
2624, 2, 25syl2anc 692 . 2 (𝜑 → ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) finSupp 𝑍 ↔ (Fun (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) ∧ ((𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) supp 𝑍) ∈ Fin)))
279, 22, 26mpbir2and 956 1 (𝜑 → (𝑘𝐴 ↦ if(𝑘𝐷, (𝐹𝑘), 𝑍)) finSupp 𝑍)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186   ∖ cdif 3552   ⊆ wss 3555  ifcif 4058   class class class wbr 4613   ↦ cmpt 4673  Fun wfun 5841  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   supp csupp 7240  Fincfn 7899   finSupp cfsupp 8219 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-supp 7241  df-er 7687  df-en 7900  df-fin 7903  df-fsupp 8220 This theorem is referenced by:  cantnflem1d  8529  gsumzsplit  18248
 Copyright terms: Public domain W3C validator