MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppsssupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsuppsssupp 8276
Description: If the support of a function is a subset of the support of a finitely supported function, the function is finitely supported. (Contributed by AV, 2-Jul-2019.) (Proof shortened by AV, 15-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
fsuppsssupp (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))) → 𝐺 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fsuppsssupp
StepHypRef Expression
1 simpll 789 . 2 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))) → 𝐺𝑉)
2 simplr 791 . 2 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))) → Fun 𝐺)
3 relfsupp 8262 . . . 4 Rel finSupp
43brrelex2i 5149 . . 3 (𝐹 finSupp 𝑍𝑍 ∈ V)
54ad2antrl 763 . 2 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))) → 𝑍 ∈ V)
6 id 22 . . . . 5 (𝐹 finSupp 𝑍𝐹 finSupp 𝑍)
76fsuppimpd 8267 . . . 4 (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
87anim1i 591 . . 3 ((𝐹 finSupp 𝑍 ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍)) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍)))
98adantl 482 . 2 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍)))
10 suppssfifsupp 8275 . 2 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺𝑍 ∈ V) ∧ ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))) → 𝐺 finSupp 𝑍)
111, 2, 5, 9, 10syl31anc 1327 1 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))) → 𝐺 finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1988  Vcvv 3195  wss 3567   class class class wbr 4644  Fun wfun 5870  (class class class)co 6635   supp csupp 7280  Fincfn 7940   finSupp cfsupp 8260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-om 7051  df-er 7727  df-en 7941  df-fin 7944  df-fsupp 8261
This theorem is referenced by:  cantnflem1  8571  dprdfinv  18399  dmdprdsplitlem  18417  dpjidcl  18438  frlmphllem  20100  frlmphl  20101  rrxcph  23161  tdeglem4  23801
  Copyright terms: Public domain W3C validator