MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppsssupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsuppsssupp 8837
Description: If the support of a function is a subset of the support of a finitely supported function, the function is finitely supported. (Contributed by AV, 2-Jul-2019.) (Proof shortened by AV, 15-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
fsuppsssupp (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))) → 𝐺 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem fsuppsssupp
StepHypRef Expression
1 simpll 763 . 2 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))) → 𝐺𝑉)
2 simplr 765 . 2 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))) → Fun 𝐺)
3 relfsupp 8823 . . . 4 Rel finSupp
43brrelex2i 5602 . . 3 (𝐹 finSupp 𝑍𝑍 ∈ V)
54ad2antrl 724 . 2 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))) → 𝑍 ∈ V)
6 id 22 . . . . 5 (𝐹 finSupp 𝑍𝐹 finSupp 𝑍)
76fsuppimpd 8828 . . . 4 (𝐹 finSupp 𝑍 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
87anim1i 614 . . 3 ((𝐹 finSupp 𝑍 ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍)) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍)))
98adantl 482 . 2 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))) → ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍)))
10 suppssfifsupp 8836 . 2 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺𝑍 ∈ V) ∧ ((𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))) → 𝐺 finSupp 𝑍)
111, 2, 5, 9, 10syl31anc 1365 1 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺) ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ (𝐹 supp 𝑍))) → 𝐺 finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2105  Vcvv 3492  wss 3933   class class class wbr 5057  Fun wfun 6342  (class class class)co 7145   supp csupp 7819  Fincfn 8497   finSupp cfsupp 8821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-om 7570  df-er 8278  df-en 8498  df-fin 8501  df-fsupp 8822
This theorem is referenced by:  cantnflem1  9140  dprdfinv  19070  dmdprdsplitlem  19088  dpjidcl  19109  frlmphllem  20852  frlmphl  20853  rrxcph  23922  tdeglem4  24581
  Copyright terms: Public domain W3C validator