Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsuppun 8238
 Description: The union of two finitely supported functions is finitely supported (but not necessarily a function!). (Contributed by AV, 3-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppun.f (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
fsuppun.g (𝜑𝐺 finSupp 𝑍)
Assertion
Ref Expression
fsuppun (𝜑 → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)

Proof of Theorem fsuppun
StepHypRef Expression
1 cnvun 5497 . . . . . . 7 (𝐹𝐺) = (𝐹𝐺)
21imaeq1i 5422 . . . . . 6 ((𝐹𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) = ((𝐹𝐺) “ (V ∖ {𝑍}))
3 imaundir 5505 . . . . . 6 ((𝐹𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) = ((𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∪ (𝐺 “ (V ∖ {𝑍})))
42, 3eqtri 2643 . . . . 5 ((𝐹𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) = ((𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∪ (𝐺 “ (V ∖ {𝑍})))
5 unexb 6911 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ↔ (𝐹𝐺) ∈ V)
6 simpl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
75, 6sylbir 225 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝐺) ∈ V → 𝐹 ∈ V)
8 suppimacnv 7251 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
97, 8sylan 488 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 supp 𝑍) = (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})))
109eqcomd 2627 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) = (𝐹 supp 𝑍))
1110adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) = (𝐹 supp 𝑍))
12 fsuppun.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 finSupp 𝑍)
1312fsuppimpd 8226 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
1413adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
1511, 14eqeltrd 2698 . . . . . 6 ((((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
16 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → 𝐺 ∈ V)
175, 16sylbir 225 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐺) ∈ V → 𝐺 ∈ V)
18 suppimacnv 7251 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐺 supp 𝑍) = (𝐺 “ (V ∖ {𝑍})))
1918eqcomd 2627 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐺 “ (V ∖ {𝑍})) = (𝐺 supp 𝑍))
2017, 19sylan 488 . . . . . . . 8 (((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐺 “ (V ∖ {𝑍})) = (𝐺 supp 𝑍))
2120adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐺 “ (V ∖ {𝑍})) = (𝐺 supp 𝑍))
22 fsuppun.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 finSupp 𝑍)
2322fsuppimpd 8226 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
2423adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
2521, 24eqeltrd 2698 . . . . . 6 ((((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (𝐺 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
26 unfi 8171 . . . . . 6 (((𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin ∧ (𝐺 “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin) → ((𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∪ (𝐺 “ (V ∖ {𝑍}))) ∈ Fin)
2715, 25, 26syl2anc 692 . . . . 5 ((((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∪ (𝐺 “ (V ∖ {𝑍}))) ∈ Fin)
284, 27syl5eqel 2702 . . . 4 ((((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝐹𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin)
29 suppimacnv 7251 . . . . . 6 (((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) = ((𝐹𝐺) “ (V ∖ {𝑍})))
3029eleq1d 2683 . . . . 5 (((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin ↔ ((𝐹𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin))
3130adantr 481 . . . 4 ((((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → (((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin ↔ ((𝐹𝐺) “ (V ∖ {𝑍})) ∈ Fin))
3228, 31mpbird 247 . . 3 ((((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) ∧ 𝜑) → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
3332ex 450 . 2 (((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
34 supp0prc 7243 . . . 4 (¬ ((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) = ∅)
35 0fin 8132 . . . 4 ∅ ∈ Fin
3634, 35syl6eqel 2706 . . 3 (¬ ((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
3736a1d 25 . 2 (¬ ((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
3833, 37pm2.61i 176 1 (𝜑 → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186   ∖ cdif 3552   ∪ cun 3553  ∅c0 3891  {csn 4148   class class class wbr 4613  ◡ccnv 5073   “ cima 5077  (class class class)co 6604   supp csupp 7240  Fincfn 7899   finSupp cfsupp 8219 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-fin 7903  df-fsupp 8220 This theorem is referenced by:  fsuppunbi  8240  gsumzaddlem  18242
 Copyright terms: Public domain W3C validator