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Theorem fsuppunbi 8293
Description: If the union of two classes/functions is a function, this union is finitely supported iff the two functions are finitely supported. (Contributed by AV, 18-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
fsuppunbi.u (𝜑 → Fun (𝐹𝐺))
Assertion
Ref Expression
fsuppunbi (𝜑 → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)))

Proof of Theorem fsuppunbi
StepHypRef Expression
1 relfsupp 8274 . . . . 5 Rel finSupp
2 brrelex12 5153 . . . . 5 ((Rel finSupp ∧ (𝐹𝐺) finSupp 𝑍) → ((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))
31, 2mpan 706 . . . 4 ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 → ((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))
4 unexb 6955 . . . . 5 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ↔ (𝐹𝐺) ∈ V)
5 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
65adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
7 simprlr 803 . . . . . . . . . . . 12 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → 𝐺 ∈ V)
87suppun 7312 . . . . . . . . . . 11 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ ((𝐹𝐺) supp 𝑍))
9 ssfi 8177 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin ∧ (𝐹 supp 𝑍) ⊆ ((𝐹𝐺) supp 𝑍)) → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
106, 8, 9syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
11 fununfun 5932 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun (𝐹𝐺) → (Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺))
1211simpld 475 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun (𝐹𝐺) → Fun 𝐹)
1312adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) → Fun 𝐹)
1413adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → Fun 𝐹)
15 simprll 802 . . . . . . . . . . 11 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → 𝐹 ∈ V)
16 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝑍 ∈ V)
1716adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → 𝑍 ∈ V)
18 funisfsupp 8277 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐹𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
1914, 15, 17, 18syl3anc 1325 . . . . . . . . . 10 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
2010, 19mpbird 247 . . . . . . . . 9 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → 𝐹 finSupp 𝑍)
21 uncom 3755 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹𝐺) = (𝐺𝐹)
2221oveq1i 6657 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝐺) supp 𝑍) = ((𝐺𝐹) supp 𝑍)
2322eleq1i 2691 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin ↔ ((𝐺𝐹) supp 𝑍) ∈ Fin)
2423biimpi 206 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐺𝐹) supp 𝑍) ∈ Fin)
2524adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) → ((𝐺𝐹) supp 𝑍) ∈ Fin)
2625adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → ((𝐺𝐹) supp 𝑍) ∈ Fin)
2715suppun 7312 . . . . . . . . . . 11 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐺 supp 𝑍) ⊆ ((𝐺𝐹) supp 𝑍))
28 ssfi 8177 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺𝐹) supp 𝑍) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ ((𝐺𝐹) supp 𝑍)) → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
2926, 27, 28syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
3011simprd 479 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun (𝐹𝐺) → Fun 𝐺)
3130adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) → Fun 𝐺)
3231adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → Fun 𝐺)
33 funisfsupp 8277 . . . . . . . . . . 11 ((Fun 𝐺𝐺 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
3432, 7, 17, 33syl3anc 1325 . . . . . . . . . 10 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
3529, 34mpbird 247 . . . . . . . . 9 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → 𝐺 finSupp 𝑍)
3620, 35jca 554 . . . . . . . 8 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍))
3736a1d 25 . . . . . . 7 (((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)))
3837ex 450 . . . . . 6 ((Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) → (((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍))))
39 fsuppimp 8278 . . . . . 6 ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 → (Fun (𝐹𝐺) ∧ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
4038, 39syl11 33 . . . . 5 (((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 → (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍))))
414, 40sylanbr 490 . . . 4 (((𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 → (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍))))
423, 41mpcom 38 . . 3 ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 → (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)))
4342com12 32 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 → (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)))
44 simpl 473 . . . . . 6 ((𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍) → 𝐹 finSupp 𝑍)
45 simpr 477 . . . . . 6 ((𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍) → 𝐺 finSupp 𝑍)
4644, 45fsuppun 8291 . . . . 5 ((𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍) → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
4746adantl 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)) → ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
48 fsuppunbi.u . . . . . 6 (𝜑 → Fun (𝐹𝐺))
4948adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)) → Fun (𝐹𝐺))
501brrelexi 5156 . . . . . . 7 (𝐹 finSupp 𝑍𝐹 ∈ V)
511brrelexi 5156 . . . . . . 7 (𝐺 finSupp 𝑍𝐺 ∈ V)
52 unexg 6956 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹𝐺) ∈ V)
5350, 51, 52syl2an 494 . . . . . 6 ((𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍) → (𝐹𝐺) ∈ V)
5453adantl 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)) → (𝐹𝐺) ∈ V)
551brrelex2i 5157 . . . . . . 7 (𝐹 finSupp 𝑍𝑍 ∈ V)
5655adantr 481 . . . . . 6 ((𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍) → 𝑍 ∈ V)
5756adantl 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)) → 𝑍 ∈ V)
58 funisfsupp 8277 . . . . 5 ((Fun (𝐹𝐺) ∧ (𝐹𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
5949, 54, 57, 58syl3anc 1325 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)) → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
6047, 59mpbird 247 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)) → (𝐹𝐺) finSupp 𝑍)
6160ex 450 . 2 (𝜑 → ((𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍) → (𝐹𝐺) finSupp 𝑍))
6243, 61impbid 202 1 (𝜑 → ((𝐹𝐺) finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 finSupp 𝑍𝐺 finSupp 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  wcel 1989  Vcvv 3198  cun 3570  wss 3572   class class class wbr 4651  Rel wrel 5117  Fun wfun 5880  (class class class)co 6647   supp csupp 7292  Fincfn 7952   finSupp cfsupp 8272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-supp 7293  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-oadd 7561  df-er 7739  df-en 7953  df-fin 7956  df-fsupp 8273
This theorem is referenced by:  funsnfsupp  8296
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