Theorem fsuppunbi 8856

Description: If the union of two classes/functions is a function, this union is finitely supported iff the two functions are finitely supported. (Contributed by AV, 18-Jun-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
fsuppunbi.u	⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ∪ 𝐺))

Assertion

Ref	Expression
fsuppunbi	⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∪ 𝐺) finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍)))

Proof of Theorem fsuppunbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfsupp 8837	. . . . 5 ⊢ Rel finSupp
2	1	brrelex12i 5609	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺) finSupp 𝑍 → ((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))
3		unexb 7473	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ↔ (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V)
4		simpr 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
5	4	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
6		simprlr 778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → 𝐺 ∈ V)
7	6	suppun 7852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐹 supp 𝑍) ⊆ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍))
8	5, 7	ssfid 8743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin)
9		fununfun 6404	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Fun (𝐹 ∪ 𝐺) → (Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺))
10	9	simpld 497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Fun (𝐹 ∪ 𝐺) → Fun 𝐹)
11	10	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) → Fun 𝐹)
12	11	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → Fun 𝐹)
13		simprll 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → 𝐹 ∈ V)
14		simpr 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝑍 ∈ V)
15	14	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → 𝑍 ∈ V)
16		funisfsupp 8840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
17	12, 13, 15, 16	syl3anc 1367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐹 finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 supp 𝑍) ∈ Fin))
18	8, 17	mpbird 259	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → 𝐹 finSupp 𝑍)
19		uncom 4131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 ∪ 𝐺) = (𝐺 ∪ 𝐹)
20	19	oveq1i 7168	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) = ((𝐺 ∪ 𝐹) supp 𝑍)
21	20	eleq1i 2905	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin ↔ ((𝐺 ∪ 𝐹) supp 𝑍) ∈ Fin)
22	21	biimpi 218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin → ((𝐺 ∪ 𝐹) supp 𝑍) ∈ Fin)
23	22	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) → ((𝐺 ∪ 𝐹) supp 𝑍) ∈ Fin)
24	23	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → ((𝐺 ∪ 𝐹) supp 𝑍) ∈ Fin)
25	13	suppun 7852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐺 supp 𝑍) ⊆ ((𝐺 ∪ 𝐹) supp 𝑍))
26	24, 25	ssfid 8743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
27	9	simprd 498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Fun (𝐹 ∪ 𝐺) → Fun 𝐺)
28	27	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) → Fun 𝐺)
29	28	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → Fun 𝐺)
30		funisfsupp 8840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Fun 𝐺 ∧ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
31	29, 6, 15, 30	syl3anc 1367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
32	26, 31	mpbird 259	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → 𝐺 finSupp 𝑍)
33	18, 32	jca 514	. . . . . . . 8 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍))
34	33	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ (((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) ∧ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V)) → (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍)))
35	34	ex 415	. . . . . 6 ⊢ ((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin) → (((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V) → (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍))))
36		fsuppimp 8841	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺) finSupp 𝑍 → (Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
37	35, 36	syl11 33	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹 ∪ 𝐺) finSupp 𝑍 → (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍))))
38	3, 37	sylanbr 584	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹 ∪ 𝐺) finSupp 𝑍 → (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍))))
39	2, 38	mpcom 38	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺) finSupp 𝑍 → (𝜑 → (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍)))
40	39	com12 32	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∪ 𝐺) finSupp 𝑍 → (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍)))
41		simpl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍) → 𝐹 finSupp 𝑍)
42		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍) → 𝐺 finSupp 𝑍)
43	41, 42	fsuppun 8854	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍) → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
44	43	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍)) → ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin)
45		fsuppunbi.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐹 ∪ 𝐺))
46	45	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍)) → Fun (𝐹 ∪ 𝐺))
47	1	brrelex1i 5610	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → 𝐹 ∈ V)
48	1	brrelex1i 5610	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 finSupp 𝑍 → 𝐺 ∈ V)
49		unexg 7474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V)
50	47, 48, 49	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍) → (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V)
51	50	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍)) → (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V)
52	1	brrelex2i 5611	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 finSupp 𝑍 → 𝑍 ∈ V)
53	52	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍) → 𝑍 ∈ V)
54	53	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍)) → 𝑍 ∈ V)
55		funisfsupp 8840	. . . . 5 ⊢ ((Fun (𝐹 ∪ 𝐺) ∧ (𝐹 ∪ 𝐺) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝐹 ∪ 𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
56	46, 51, 54, 55	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍)) → ((𝐹 ∪ 𝐺) finSupp 𝑍 ↔ ((𝐹 ∪ 𝐺) supp 𝑍) ∈ Fin))
57	44, 56	mpbird 259	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍)) → (𝐹 ∪ 𝐺) finSupp 𝑍)
58	57	ex 415	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍) → (𝐹 ∪ 𝐺) finSupp 𝑍))
59	40, 58	impbid 214	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∪ 𝐺) finSupp 𝑍 ↔ (𝐹 finSupp 𝑍 ∧ 𝐺 finSupp 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496   ∪ cun 3936   class class class wbr 5068  Fun wfun 6351  (class class class)co 7158   supp csupp 7832  Fincfn 8511   finSupp cfsupp 8835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-oadd 8108  df-er 8291  df-en 8512  df-fin 8515  df-fsupp 8836

This theorem is referenced by:  funsnfsupp  8859  lbsdiflsp0  31024