MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftalem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftalem2 24845
Description: Lemma for fta 24851. There exists some 𝑟 such that 𝐹 has magnitude greater than 𝐹(0) outside the closed ball B(0,r). (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
ftalem.2 𝑁 = (deg‘𝐹)
ftalem.3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
ftalem.4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
ftalem2.5 𝑈 = if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ 𝑇, 𝑇, if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1))
ftalem2.6 𝑇 = ((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2))
Assertion
Ref Expression
ftalem2 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑠,𝑟,𝑥,𝐴   𝑁,𝑟,𝑠,𝑥   𝐹,𝑟,𝑠,𝑥   𝜑,𝑠,𝑥   𝑆,𝑠   𝑇,𝑟,𝑥   𝑈,𝑟,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝑆(𝑥,𝑟)   𝑇(𝑠)   𝑈(𝑠)

Proof of Theorem ftalem2
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftalem.1 . . 3 𝐴 = (coeff‘𝐹)
2 ftalem.2 . . 3 𝑁 = (deg‘𝐹)
3 ftalem.3 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
4 ftalem.4 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
51coef3 24033 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
63, 5syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
74nnnn0d 11389 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
86, 7ffvelrnd 6400 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
94nnne0d 11103 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ≠ 0)
102, 1dgreq0 24066 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑁) = 0))
11 fveq2 6229 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
12 dgr0 24063 . . . . . . . . . . 11 (deg‘0𝑝) = 0
1311, 12syl6eq 2701 . . . . . . . . . 10 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = 0)
142, 13syl5eq 2697 . . . . . . . . 9 (𝐹 = 0𝑝𝑁 = 0)
1510, 14syl6bir 244 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((𝐴𝑁) = 0 → 𝑁 = 0))
163, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴𝑁) = 0 → 𝑁 = 0))
1716necon3d 2844 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 ≠ 0 → (𝐴𝑁) ≠ 0))
189, 17mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑁) ≠ 0)
198, 18absrpcld 14231 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑁)) ∈ ℝ+)
2019rphalfcld 11922 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) ∈ ℝ+)
21 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
2221fveq2d 6233 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (abs‘(𝐴𝑛)) = (abs‘(𝐴𝑘)))
2322cbvsumv 14470 . . . 4 Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(𝐴𝑛)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(𝐴𝑘))
2423oveq1i 6700 . . 3 𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(𝐴𝑛)) / ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2)) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(abs‘(𝐴𝑘)) / ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2))
251, 2, 3, 4, 20, 24ftalem1 24844 . 2 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑠 < (abs‘𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))))
26 ftalem2.5 . . . . . 6 𝑈 = if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ 𝑇, 𝑇, if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1))
27 ftalem2.6 . . . . . . . . 9 𝑇 = ((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2))
28 plyf 23999 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
293, 28syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
30 0cn 10070 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℂ
31 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
3229, 30, 31sylancl 695 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
3332abscld 14219 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘0)) ∈ ℝ)
3433, 20rerpdivcld 11941 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2)) ∈ ℝ)
3527, 34syl5eqel 2734 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
3635adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
37 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ∈ ℝ)
38 1re 10077 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
39 ifcl 4163 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ∈ ℝ)
4037, 38, 39sylancl 695 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ∈ ℝ)
4136, 40ifcld 4164 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ 𝑇, 𝑇, if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1)) ∈ ℝ)
4226, 41syl5eqel 2734 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑈 ∈ ℝ)
43 0red 10079 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
44 1red 10093 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
45 0lt1 10588 . . . . . . 7 0 < 1
4645a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 0 < 1)
47 max1 12054 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 1 ≤ if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1))
4838, 37, 47sylancr 696 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 1 ≤ if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1))
49 max1 12054 . . . . . . . . 9 ((if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ 𝑇, 𝑇, if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1)))
5040, 36, 49syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ 𝑇, 𝑇, if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1)))
5150, 26syl6breqr 4727 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ 𝑈)
5244, 40, 42, 48, 51letrd 10232 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 1 ≤ 𝑈)
5343, 44, 42, 46, 52ltletrd 10235 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 0 < 𝑈)
5442, 53elrpd 11907 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑈 ∈ ℝ+)
55 max2 12056 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ≤ if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1))
5638, 37, 55sylancr 696 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ≤ if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1))
5737, 40, 42, 56, 51letrd 10232 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠𝑈)
5857adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑠𝑈)
5937adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑠 ∈ ℝ)
6042adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑈 ∈ ℝ)
61 abscl 14062 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
6261adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
63 lelttr 10166 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑥) ∈ ℝ) → ((𝑠𝑈𝑈 < (abs‘𝑥)) → 𝑠 < (abs‘𝑥)))
6459, 60, 62, 63syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑠𝑈𝑈 < (abs‘𝑥)) → 𝑠 < (abs‘𝑥)))
6558, 64mpand 711 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑈 < (abs‘𝑥) → 𝑠 < (abs‘𝑥)))
6665imim1d 82 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑠 < (abs‘𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))) → (𝑈 < (abs‘𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)))))
6729ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
68 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑥 ∈ ℂ)
6967, 68ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
708ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
717ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7268, 71expcld 13048 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (𝑥𝑁) ∈ ℂ)
7370, 72mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) ∈ ℂ)
7469, 73subcld 10430 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) ∈ ℂ)
7574abscld 14219 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) ∈ ℝ)
7673abscld 14219 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) ∈ ℝ)
7776rehalfcld 11317 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) ∈ ℝ)
7875, 77, 76ltsub2d 10675 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) ↔ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))))))
7970, 72absmuld 14237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) = ((abs‘(𝐴𝑁)) · (abs‘(𝑥𝑁))))
8068, 71absexpd 14235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(𝑥𝑁)) = ((abs‘𝑥)↑𝑁))
8180oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘(𝐴𝑁)) · (abs‘(𝑥𝑁))) = ((abs‘(𝐴𝑁)) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)))
8279, 81eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) = ((abs‘(𝐴𝑁)) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)))
8382oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) = (((abs‘(𝐴𝑁)) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)) / 2))
8470abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(𝐴𝑁)) ∈ ℝ)
8584recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(𝐴𝑁)) ∈ ℂ)
8662adantrr 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘𝑥) ∈ ℝ)
8786, 71reexpcld 13065 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘𝑥)↑𝑁) ∈ ℝ)
8887recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘𝑥)↑𝑁) ∈ ℂ)
89 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 2 ∈ ℂ)
90 2ne0 11151 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≠ 0
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 2 ≠ 0)
9285, 88, 89, 91div23d 10876 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘(𝐴𝑁)) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)) / 2) = (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)))
9383, 92eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) = (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)))
9493breq2d 4697 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) ↔ (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))))
9576recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) ∈ ℂ)
96952halvesd 11316 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) + ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)) = (abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))
9796oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) + ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)) − ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)) = ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)))
9877recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) ∈ ℂ)
9998, 98pncand 10431 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) + ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)) − ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)) = ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2))
10097, 99eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)) = ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2))
101100breq1d 4695 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2)) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) ↔ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))))))
10278, 94, 1013bitr3d 298 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)) ↔ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))))))
10373, 69subcld 10430 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
10473, 103abs2difd 14240 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘(((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (𝐹𝑥)))) ≤ (abs‘(((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (𝐹𝑥)))))
10573, 69abssubd 14236 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (𝐹𝑥))) = (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))))
106105oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘(((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (𝐹𝑥)))) = ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))))
10773, 69nncand 10435 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (𝐹𝑥))) = (𝐹𝑥))
108107fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)) − (𝐹𝑥)))) = (abs‘(𝐹𝑥)))
109104, 106, 1083brtr3d 4716 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
11076, 75resubcld 10496 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) ∈ ℝ)
11169abscld 14219 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
112 ltletr 10167 . . . . . . . . . . . 12 ((((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) ∈ ℝ ∧ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ) → ((((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) ∧ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < (abs‘(𝐹𝑥))))
11377, 110, 111, 112syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) ∧ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) ≤ (abs‘(𝐹𝑥))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < (abs‘(𝐹𝑥))))
114109, 113mpan2d 710 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) − (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))))) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < (abs‘(𝐹𝑥))))
115102, 114sylbid 230 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)) → ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < (abs‘(𝐹𝑥))))
11633ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(𝐹‘0)) ∈ ℝ)
11720ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) ∈ ℝ+)
118117rpred 11910 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) ∈ ℝ)
119118, 86remulcld 10108 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · (abs‘𝑥)) ∈ ℝ)
12093, 77eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)) ∈ ℝ)
12136adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑇 ∈ ℝ)
12242adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑈 ∈ ℝ)
123 max2 12056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → 𝑇 ≤ if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ 𝑇, 𝑇, if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1)))
12440, 36, 123syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑇 ≤ if(if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1) ≤ 𝑇, 𝑇, if(1 ≤ 𝑠, 𝑠, 1)))
125124, 26syl6breqr 4727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑇𝑈)
126125adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑇𝑈)
127 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑈 < (abs‘𝑥))
128121, 122, 86, 126, 127lelttrd 10233 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑇 < (abs‘𝑥))
12927, 128syl5eqbrr 4721 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2)) < (abs‘𝑥))
130116, 86, 117ltdivmuld 11961 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘(𝐹‘0)) / ((abs‘(𝐴𝑁)) / 2)) < (abs‘𝑥) ↔ (abs‘(𝐹‘0)) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · (abs‘𝑥))))
131129, 130mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(𝐹‘0)) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · (abs‘𝑥)))
13286recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘𝑥) ∈ ℂ)
133132exp1d 13043 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘𝑥)↑1) = (abs‘𝑥))
134 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 1 ∈ ℝ)
13552adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 1 ≤ 𝑈)
136134, 122, 86, 135, 127lelttrd 10233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 1 < (abs‘𝑥))
137134, 86, 136ltled 10223 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 1 ≤ (abs‘𝑥))
1384ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑁 ∈ ℕ)
139 nnuz 11761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℕ = (ℤ‘1)
140138, 139syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
14186, 137, 140leexp2ad 13081 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘𝑥)↑1) ≤ ((abs‘𝑥)↑𝑁))
142133, 141eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘𝑥) ≤ ((abs‘𝑥)↑𝑁))
14386, 87, 117lemul2d 11954 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘𝑥) ≤ ((abs‘𝑥)↑𝑁) ↔ (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · (abs‘𝑥)) ≤ (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))))
144142, 143mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · (abs‘𝑥)) ≤ (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)))
145116, 119, 120, 131, 144ltletrd 10235 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(𝐹‘0)) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)))
146145, 93breqtrrd 4713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (abs‘(𝐹‘0)) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2))
147 lttr 10152 . . . . . . . . . . 11 (((abs‘(𝐹‘0)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ) → (((abs‘(𝐹‘0)) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) ∧ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < (abs‘(𝐹𝑥))) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
148116, 77, 111, 147syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘(𝐹‘0)) < ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) ∧ ((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < (abs‘(𝐹𝑥))) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
149146, 148mpand 711 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → (((abs‘((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁))) / 2) < (abs‘(𝐹𝑥)) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
150115, 149syld 47 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑈 < (abs‘𝑥))) → ((abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
151150expr 642 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑈 < (abs‘𝑥) → ((abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁)) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))))
152151a2d 29 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑈 < (abs‘𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))) → (𝑈 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))))
15366, 152syld 47 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑠 < (abs‘𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))) → (𝑈 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))))
154153ralimdva 2991 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℂ (𝑠 < (abs‘𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))) → ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑈 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))))
155 breq1 4688 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑈 → (𝑟 < (abs‘𝑥) ↔ 𝑈 < (abs‘𝑥)))
156155imbi1d 330 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑈 → ((𝑟 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))) ↔ (𝑈 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))))
157156ralbidv 3015 . . . . 5 (𝑟 = 𝑈 → (∀𝑥 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑈 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))))
158157rspcev 3340 . . . 4 ((𝑈 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑈 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
15954, 154, 158syl6an 567 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℂ (𝑠 < (abs‘𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))))
160159rexlimdva 3060 . 2 (𝜑 → (∃𝑠 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑠 < (abs‘𝑥) → (abs‘((𝐹𝑥) − ((𝐴𝑁) · (𝑥𝑁)))) < (((abs‘(𝐴𝑁)) / 2) · ((abs‘𝑥)↑𝑁))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥)))))
16125, 160mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ (𝑟 < (abs‘𝑥) → (abs‘(𝐹‘0)) < (abs‘(𝐹𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  ifcif 4119   class class class wbr 4685  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cuz 11725  +crp 11870  ...cfz 12364  cexp 12900  abscabs 14018  Σcsu 14460  0𝑝c0p 23481  Polycply 23985  coeffccoe 23987  degcdgr 23988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ico 12219  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-0p 23482  df-ply 23989  df-coe 23991  df-dgr 23992
This theorem is referenced by:  fta  24851
  Copyright terms: Public domain W3C validator