MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftalem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftalem4 24736
Description: Lemma for fta 24740: Closure of the auxiliary variables for ftalem5 24737. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.) (Revised by AV, 28-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ftalem.1 𝐴 = (coeff‘𝐹)
ftalem.2 𝑁 = (deg‘𝐹)
ftalem.3 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
ftalem.4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
ftalem4.5 (𝜑 → (𝐹‘0) ≠ 0)
ftalem4.6 𝐾 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0}, ℝ, < )
ftalem4.7 𝑇 = (-((𝐹‘0) / (𝐴𝐾))↑𝑐(1 / 𝐾))
ftalem4.8 𝑈 = ((abs‘(𝐹‘0)) / (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1))
ftalem4.9 𝑋 = if(1 ≤ 𝑈, 1, 𝑈)
Assertion
Ref Expression
ftalem4 (𝜑 → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝐾) ≠ 0) ∧ (𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑈 ∈ ℝ+𝑋 ∈ ℝ+)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐴   𝑘,𝐾,𝑛   𝑘,𝑁,𝑛   𝑘,𝐹,𝑛   𝜑,𝑘   𝑆,𝑘   𝑇,𝑘   𝑘,𝑋,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑇(𝑛)   𝑈(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ftalem4
StepHypRef Expression
1 ftalem4.6 . . . 4 𝐾 = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0}, ℝ, < )
2 ssrab2 3672 . . . . . 6 {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ⊆ ℕ
3 nnuz 11683 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
42, 3sseqtri 3622 . . . . 5 {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ⊆ (ℤ‘1)
5 ftalem.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
65nnne0d 11025 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ≠ 0)
7 ftalem.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
8 ftalem.2 . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = (deg‘𝐹)
9 ftalem.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (coeff‘𝐹)
108, 9dgreq0 23959 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑁) = 0))
117, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐴𝑁) = 0))
12 fveq2 6158 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = (deg‘0𝑝))
13 dgr0 23956 . . . . . . . . . . . 12 (deg‘0𝑝) = 0
1412, 13syl6eq 2671 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 = 0𝑝 → (deg‘𝐹) = 0)
158, 14syl5eq 2667 . . . . . . . . . 10 (𝐹 = 0𝑝𝑁 = 0)
1611, 15syl6bir 244 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴𝑁) = 0 → 𝑁 = 0))
1716necon3d 2811 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 ≠ 0 → (𝐴𝑁) ≠ 0))
186, 17mpd 15 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝑁) ≠ 0)
19 fveq2 6158 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑁))
2019neeq1d 2849 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → ((𝐴𝑛) ≠ 0 ↔ (𝐴𝑁) ≠ 0))
2120elrab 3351 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ≠ 0))
225, 18, 21sylanbrc 697 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0})
23 ne0i 3903 . . . . . 6 (𝑁 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} → {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ≠ ∅)
2422, 23syl 17 . . . . 5 (𝜑 → {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ≠ ∅)
25 infssuzcl 11732 . . . . 5 (({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ⊆ (ℤ‘1) ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ≠ ∅) → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0})
264, 24, 25sylancr 694 . . . 4 (𝜑 → inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0}, ℝ, < ) ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0})
271, 26syl5eqel 2702 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0})
28 fveq2 6158 . . . . 5 (𝑛 = 𝐾 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝐾))
2928neeq1d 2849 . . . 4 (𝑛 = 𝐾 → ((𝐴𝑛) ≠ 0 ↔ (𝐴𝐾) ≠ 0))
3029elrab 3351 . . 3 (𝐾 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ (𝐴𝑛) ≠ 0} ↔ (𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝐾) ≠ 0))
3127, 30sylib 208 . 2 (𝜑 → (𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝐾) ≠ 0))
32 ftalem4.7 . . . 4 𝑇 = (-((𝐹‘0) / (𝐴𝐾))↑𝑐(1 / 𝐾))
33 plyf 23892 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
347, 33syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
35 0cn 9992 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
36 ffvelrn 6323 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
3734, 35, 36sylancl 693 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹‘0) ∈ ℂ)
389coef3 23926 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
397, 38syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
4031simpld 475 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
4140nnnn0d 11311 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
4239, 41ffvelrnd 6326 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐾) ∈ ℂ)
4331simprd 479 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐾) ≠ 0)
4437, 42, 43divcld 10761 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹‘0) / (𝐴𝐾)) ∈ ℂ)
4544negcld 10339 . . . . 5 (𝜑 → -((𝐹‘0) / (𝐴𝐾)) ∈ ℂ)
4640nnrecred 11026 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 𝐾) ∈ ℝ)
4746recnd 10028 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 𝐾) ∈ ℂ)
4845, 47cxpcld 24388 . . . 4 (𝜑 → (-((𝐹‘0) / (𝐴𝐾))↑𝑐(1 / 𝐾)) ∈ ℂ)
4932, 48syl5eqel 2702 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
50 ftalem4.8 . . . 4 𝑈 = ((abs‘(𝐹‘0)) / (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1))
51 ftalem4.5 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹‘0) ≠ 0)
5237, 51absrpcld 14137 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐹‘0)) ∈ ℝ+)
53 fzfid 12728 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐾 + 1)...𝑁) ∈ Fin)
54 peano2nn0 11293 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
5541, 54syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
56 elfzuz 12296 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1)))
57 eluznn0 11717 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 + 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘(𝐾 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5855, 56, 57syl2an 494 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5939ffvelrnda 6325 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
6058, 59syldan 487 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
61 expcl 12834 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑇𝑘) ∈ ℂ)
6249, 61sylan 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑇𝑘) ∈ ℂ)
6358, 62syldan 487 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (𝑇𝑘) ∈ ℂ)
6460, 63mulcld 10020 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘)) ∈ ℂ)
6564abscld 14125 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → (abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) ∈ ℝ)
6653, 65fsumrecl 14414 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) ∈ ℝ)
6764absge0d 14133 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)) → 0 ≤ (abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))))
6853, 65, 67fsumge0 14473 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))))
6966, 68ge0p1rpd 11862 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1) ∈ ℝ+)
7052, 69rpdivcld 11849 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝐹‘0)) / (Σ𝑘 ∈ ((𝐾 + 1)...𝑁)(abs‘((𝐴𝑘) · (𝑇𝑘))) + 1)) ∈ ℝ+)
7150, 70syl5eqel 2702 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
72 ftalem4.9 . . . 4 𝑋 = if(1 ≤ 𝑈, 1, 𝑈)
73 1rp 11796 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
74 ifcl 4108 . . . . 5 ((1 ∈ ℝ+𝑈 ∈ ℝ+) → if(1 ≤ 𝑈, 1, 𝑈) ∈ ℝ+)
7573, 71, 74sylancr 694 . . . 4 (𝜑 → if(1 ≤ 𝑈, 1, 𝑈) ∈ ℝ+)
7672, 75syl5eqel 2702 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
7749, 71, 763jca 1240 . 2 (𝜑 → (𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑈 ∈ ℝ+𝑋 ∈ ℝ+))
7831, 77jca 554 1 (𝜑 → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝐾) ≠ 0) ∧ (𝑇 ∈ ℂ ∧ 𝑈 ∈ ℝ+𝑋 ∈ ℝ+)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  {crab 2912  wss 3560  c0 3897  ifcif 4064   class class class wbr 4623  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  infcinf 8307  cc 9894  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   · cmul 9901   < clt 10034  cle 10035  -cneg 10227   / cdiv 10644  cn 10980  0cn0 11252  cuz 11647  +crp 11792  ...cfz 12284  cexp 12816  abscabs 13924  Σcsu 14366  0𝑝c0p 23376  Polycply 23878  coeffccoe 23880  degcdgr 23881  𝑐ccxp 24240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-ioc 12138  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-mod 12625  df-seq 12758  df-exp 12817  df-fac 13017  df-bc 13046  df-hash 13074  df-shft 13757  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-limsup 14152  df-clim 14169  df-rlim 14170  df-sum 14367  df-ef 14742  df-sin 14744  df-cos 14745  df-pi 14747  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-rest 16023  df-topn 16024  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-topgen 16044  df-pt 16045  df-prds 16048  df-xrs 16102  df-qtop 16107  df-imas 16108  df-xps 16110  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-mulg 17481  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-fbas 19683  df-fg 19684  df-cnfld 19687  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-cld 20763  df-ntr 20764  df-cls 20765  df-nei 20842  df-lp 20880  df-perf 20881  df-cn 20971  df-cnp 20972  df-haus 21059  df-tx 21305  df-hmeo 21498  df-fil 21590  df-fm 21682  df-flim 21683  df-flf 21684  df-xms 22065  df-ms 22066  df-tms 22067  df-cncf 22621  df-0p 23377  df-limc 23570  df-dv 23571  df-ply 23882  df-coe 23884  df-dgr 23885  df-log 24241  df-cxp 24242
This theorem is referenced by:  ftalem5  24737
  Copyright terms: Public domain W3C validator