MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1 24566
Description: The Fundamental Theorem of Calculus, part one. The function formed by varying the right endpoint of an integral is differentiable at 𝐶 with derivative 𝐹(𝐶) if the original function is continuous at 𝐶. This is part of Metamath 100 proof #15. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
ftc1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc1.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
ftc1.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
ftc1.j 𝐽 = (𝐿t ℝ)
ftc1.k 𝐾 = (𝐿t 𝐷)
ftc1.l 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
Assertion
Ref Expression
ftc1 (𝜑𝐶(ℝ D 𝐺)(𝐹𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝐶   𝑡,𝐷,𝑥   𝑡,𝐴,𝑥   𝑡,𝐵,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝑡,𝐹,𝑥   𝑥,𝐿
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑡)   𝐽(𝑥,𝑡)   𝐾(𝑥,𝑡)   𝐿(𝑡)

Proof of Theorem ftc1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftc1.j . . . . . . 7 𝐽 = (𝐿t ℝ)
2 ftc1.l . . . . . . . 8 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
32tgioo2 23338 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = (𝐿t ℝ)
41, 3eqtr4i 2844 . . . . . 6 𝐽 = (topGen‘ran (,))
5 retop 23297 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
64, 5eqeltri 2906 . . . . 5 𝐽 ∈ Top
76a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ Top)
8 ftc1.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
9 ftc1.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
10 iccssre 12806 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
118, 9, 10syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
12 iooretop 23301 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
1312, 4eleqtrri 2909 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ∈ 𝐽
1413a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ 𝐽)
15 ioossicc 12810 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
1615a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
17 uniretop 23298 . . . . . 6 ℝ = (topGen‘ran (,))
184unieqi 4839 . . . . . 6 𝐽 = (topGen‘ran (,))
1917, 18eqtr4i 2844 . . . . 5 ℝ = 𝐽
2019ssntr 21594 . . . 4 (((𝐽 ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∈ 𝐽 ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((int‘𝐽)‘(𝐴[,]𝐵)))
217, 11, 14, 16, 20syl22anc 834 . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((int‘𝐽)‘(𝐴[,]𝐵)))
22 ftc1.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2321, 22sseldd 3965 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐴[,]𝐵)))
24 ftc1.g . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
25 ftc1.le . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
26 ftc1.s . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
27 ftc1.d . . 3 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
28 ftc1.i . . 3 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
29 ftc1.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
30 ftc1.k . . 3 𝐾 = (𝐿t 𝐷)
31 eqid 2818 . . 3 (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
3224, 8, 9, 25, 26, 27, 28, 22, 29, 1, 30, 2, 31ftc1lem6 24565 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))
33 ax-resscn 10582 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
3433a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3524, 8, 9, 25, 26, 27, 28, 22, 29, 1, 30, 2ftc1lem3 24562 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
3624, 8, 9, 25, 26, 27, 28, 35ftc1lem2 24560 . . 3 (𝜑𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
371, 2, 31, 34, 36, 11eldv 24423 . 2 (𝜑 → (𝐶(ℝ D 𝐺)(𝐹𝐶) ↔ (𝐶 ∈ ((int‘𝐽)‘(𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝐹𝐶) ∈ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶))) lim 𝐶))))
3823, 32, 37mpbir2and 709 1 (𝜑𝐶(ℝ D 𝐺)(𝐹𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  cdif 3930  wss 3933  {csn 4557   cuni 4830   class class class wbr 5057  cmpt 5137  ran crn 5549  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  cle 10664  cmin 10858   / cdiv 11285  (,)cioo 12726  [,]cicc 12729  t crest 16682  TopOpenctopn 16683  topGenctg 16699  fldccnfld 20473  Topctop 21429  intcnt 21553   CnP ccnp 21761  𝐿1cibl 24145  citg 24146   lim climc 24387   D cdv 24388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cc 9845  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-symdif 4216  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-ofr 7399  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-ntr 21556  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-cmp 21923  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-ovol 23992  df-vol 23993  df-mbf 24147  df-itg1 24148  df-itg2 24149  df-ibl 24150  df-itg 24151  df-0p 24198  df-limc 24391  df-dv 24392
This theorem is referenced by:  ftc1cn  24567
  Copyright terms: Public domain W3C validator