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Theorem ftc1anclem8 33805
 Description: Lemma for ftc1anc 33806. (Contributed by Brendan Leahy, 29-May-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1anc.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
ftc1anc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc1anc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc1anc.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc1anc.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1anc.d (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1anc.i (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1anc.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
ftc1anclem8 (((((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < (𝑦 / 2)) ∧ ∃𝑟 ∈ (ran 𝑓 ∪ ran 𝑔)𝑟 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑢𝑤)) ∧ (abs‘(𝑤𝑢)) < ((𝑦 / 2) / (2 · sup((abs “ (ran 𝑓 ∪ ran 𝑔)), ℝ, < )))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) + (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))) < 𝑦)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑟,𝑡,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦,𝐴   𝐵,𝑓,𝑔,𝑟,𝑡,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦   𝐷,𝑓,𝑔,𝑟,𝑡,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦   𝑓,𝐹,𝑔,𝑟,𝑡,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦   𝜑,𝑓,𝑔,𝑟,𝑡,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦   𝑓,𝐺,𝑔,𝑟,𝑢,𝑤,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem ftc1anclem8
StepHypRef Expression
1 ftc1anc.g . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
2 ftc1anc.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ftc1anc.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 ftc1anc.le . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
5 ftc1anc.s . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
6 ftc1anc.d . . 3 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
7 ftc1anc.i . . 3 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
8 ftc1anc.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ftc1anclem7 33804 . 2 (((((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < (𝑦 / 2)) ∧ ∃𝑟 ∈ (ran 𝑓 ∪ ran 𝑔)𝑟 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑢𝑤)) ∧ (abs‘(𝑤𝑢)) < ((𝑦 / 2) / (2 · sup((abs “ (ran 𝑓 ∪ ran 𝑔)), ℝ, < )))) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))) < ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)))
10 simplll 815 . . . 4 (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < (𝑦 / 2)) ∧ ∃𝑟 ∈ (ran 𝑓 ∪ ran 𝑔)𝑟 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)))
11 3simpa 1143 . . . 4 ((𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑢𝑤) → (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
12 ioossre 12428 . . . . . . . . 9 (𝑢(,)𝑤) ⊆ ℝ
1312a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑢(,)𝑤) ⊆ ℝ)
14 rembl 23508 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ dom vol
1514a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ℝ ∈ dom vol)
16 fvex 6362 . . . . . . . . . 10 (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ V
17 c0ex 10226 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
1816, 17ifex 4300 . . . . . . . . 9 if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ V
1918a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ V)
20 eldifn 3876 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ (ℝ ∖ (𝑢(,)𝑤)) → ¬ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤))
2120adantl 473 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ ∖ (𝑢(,)𝑤))) → ¬ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤))
2221iffalsed 4241 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ ∖ (𝑢(,)𝑤))) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) = 0)
23 iftrue 4236 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) = (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
2423mpteq2ia 4892 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) = (𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
25 resmpt 5607 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢(,)𝑤) ⊆ ℝ → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ↾ (𝑢(,)𝑤)) = (𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
2612, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ↾ (𝑢(,)𝑤)) = (𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
2724, 26eqtr4i 2785 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) = ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ↾ (𝑢(,)𝑤))
28 i1ff 23642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓:ℝ⟶ℝ)
2928ffvelrnda 6522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (𝑓𝑡) ∈ ℝ)
3029recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (𝑓𝑡) ∈ ℂ)
31 ax-icn 10187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 i ∈ ℂ
32 i1ff 23642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔:ℝ⟶ℝ)
3332ffvelrnda 6522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (𝑔𝑡) ∈ ℝ)
3433recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (𝑔𝑡) ∈ ℂ)
35 mulcl 10212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i ∈ ℂ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℂ) → (i · (𝑔𝑡)) ∈ ℂ)
3631, 34, 35sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (i · (𝑔𝑡)) ∈ ℂ)
37 addcl 10210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓𝑡) ∈ ℂ ∧ (i · (𝑔𝑡)) ∈ ℂ) → ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) ∈ ℂ)
3830, 36, 37syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ)) → ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) ∈ ℂ)
3938anandirs 909 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) ∈ ℂ)
40 reex 10219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ∈ V
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ V)
4229adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑓𝑡) ∈ ℝ)
4336adantll 752 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (i · (𝑔𝑡)) ∈ ℂ)
4428feqmptd 6411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓 = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)))
4544adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → 𝑓 = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)))
4640a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
4731a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
48 fconstmpt 5320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℝ × {i}) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ i)
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 ∈ dom ∫1 → (ℝ × {i}) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ i))
5032feqmptd 6411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔 = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑔𝑡)))
5146, 47, 33, 49, 50offval2 7079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (i · (𝑔𝑡))))
5251adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (i · (𝑔𝑡))))
5341, 42, 43, 45, 52offval2 7079 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
54 absf 14276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 abs:ℂ⟶ℝ
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → abs:ℂ⟶ℝ)
5655feqmptd 6411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥)))
57 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) → (abs‘𝑥) = (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
5839, 53, 56, 57fmptco 6559 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
59 ftc1anclem3 33800 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔))) ∈ dom ∫1)
6058, 59eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ dom ∫1)
61 i1fmbf 23641 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ MblFn)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ MblFn)
63 ioombl 23533 . . . . . . . . . . 11 (𝑢(,)𝑤) ∈ dom vol
64 mbfres 23610 . . . . . . . . . . 11 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ MblFn ∧ (𝑢(,)𝑤) ∈ dom vol) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ↾ (𝑢(,)𝑤)) ∈ MblFn)
6562, 63, 64sylancl 697 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ↾ (𝑢(,)𝑤)) ∈ MblFn)
6627, 65syl5eqel 2843 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∈ MblFn)
6766adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∈ MblFn)
6813, 15, 19, 22, 67mbfss 23612 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∈ MblFn)
6968adantr 472 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∈ MblFn)
7039abscld 14374 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ ℝ)
7139absge0d 14382 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
72 elrege0 12471 . . . . . . . . . 10 ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
7370, 71, 72sylanbrc 701 . . . . . . . . 9 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ (0[,)+∞))
74 0e0icopnf 12475 . . . . . . . . 9 0 ∈ (0[,)+∞)
75 ifcl 4274 . . . . . . . . 9 (((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ (0[,)+∞) ∧ 0 ∈ (0[,)+∞)) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ (0[,)+∞))
7673, 74, 75sylancl 697 . . . . . . . 8 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ (0[,)+∞))
77 eqid 2760 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))
7876, 77fmptd 6548 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
7978ad2antlr 765 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
8070rexrd 10281 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ ℝ*)
81 elxrge0 12474 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
8280, 71, 81sylanbrc 701 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ (0[,]+∞))
83 0e0iccpnf 12476 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0[,]+∞)
84 ifcl 4274 . . . . . . . . . 10 (((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ (0[,]+∞))
8582, 83, 84sylancl 697 . . . . . . . . 9 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ (0[,]+∞))
8685, 77fmptd 6548 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
8786ad2antlr 765 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
88 ifcl 4274 . . . . . . . . . . 11 (((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ (0[,]+∞))
8982, 83, 88sylancl 697 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ (0[,]+∞))
90 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))
9189, 90fmptd 6548 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
92 ffn 6206 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:ℝ⟶ℝ → 𝑓 Fn ℝ)
93 frn 6214 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:ℝ⟶ℝ → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
94 ax-resscn 10185 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ⊆ ℂ
9593, 94syl6ss 3756 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:ℝ⟶ℝ → ran 𝑓 ⊆ ℂ)
96 ffn 6206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
9754, 96ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 abs Fn ℂ
98 fnco 6160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs Fn ℂ ∧ 𝑓 Fn ℝ ∧ ran 𝑓 ⊆ ℂ) → (abs ∘ 𝑓) Fn ℝ)
9997, 98mp3an1 1560 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 Fn ℝ ∧ ran 𝑓 ⊆ ℂ) → (abs ∘ 𝑓) Fn ℝ)
10092, 95, 99syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:ℝ⟶ℝ → (abs ∘ 𝑓) Fn ℝ)
10128, 100syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (abs ∘ 𝑓) Fn ℝ)
102101adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ 𝑓) Fn ℝ)
103 ffn 6206 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔:ℝ⟶ℝ → 𝑔 Fn ℝ)
104 frn 6214 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔:ℝ⟶ℝ → ran 𝑔 ⊆ ℝ)
105104, 94syl6ss 3756 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔:ℝ⟶ℝ → ran 𝑔 ⊆ ℂ)
106 fnco 6160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs Fn ℂ ∧ 𝑔 Fn ℝ ∧ ran 𝑔 ⊆ ℂ) → (abs ∘ 𝑔) Fn ℝ)
10797, 106mp3an1 1560 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔 Fn ℝ ∧ ran 𝑔 ⊆ ℂ) → (abs ∘ 𝑔) Fn ℝ)
108103, 105, 107syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔:ℝ⟶ℝ → (abs ∘ 𝑔) Fn ℝ)
10932, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 ∈ dom ∫1 → (abs ∘ 𝑔) Fn ℝ)
110109adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ 𝑔) Fn ℝ)
111 inidm 3965 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
11228adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
113 fvco3 6437 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs ∘ 𝑓)‘𝑡) = (abs‘(𝑓𝑡)))
114112, 113sylan 489 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs ∘ 𝑓)‘𝑡) = (abs‘(𝑓𝑡)))
11532adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → 𝑔:ℝ⟶ℝ)
116 fvco3 6437 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑔:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs ∘ 𝑔)‘𝑡) = (abs‘(𝑔𝑡)))
117115, 116sylan 489 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs ∘ 𝑔)‘𝑡) = (abs‘(𝑔𝑡)))
118102, 110, 41, 41, 111, 114, 117offval 7069 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → ((abs ∘ 𝑓) ∘𝑓 + (abs ∘ 𝑔)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))))
11930addid1d 10428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑓𝑡) + 0) = (𝑓𝑡))
120119mpteq2dva 4896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝑓𝑡) + 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)))
12140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
12217a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → 0 ∈ V)
12331a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
12448a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (ℝ × {i}) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ i))
125 fconstmpt 5320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ℝ × {0}) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ 0)
126125a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (ℝ × {0}) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ 0))
127121, 123, 122, 124, 126offval2 7079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · (ℝ × {0})) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (i · 0)))
128 it0e0 11446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (i · 0) = 0
129128mpteq2i 4893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 ∈ ℝ ↦ (i · 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ 0)
130127, 129syl6eq 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · (ℝ × {0})) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ 0))
131121, 29, 122, 44, 130offval2 7079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · (ℝ × {0}))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝑓𝑡) + 0)))
132120, 131, 443eqtr4d 2804 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · (ℝ × {0}))) = 𝑓)
133132coeq2d 5440 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · (ℝ × {0})))) = (abs ∘ 𝑓))
134 i1f0 23653 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1
135 ftc1anclem3 33800 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · (ℝ × {0})))) ∈ dom ∫1)
136134, 135mpan2 709 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · (ℝ × {0})))) ∈ dom ∫1)
137133, 136eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (abs ∘ 𝑓) ∈ dom ∫1)
138137adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ 𝑓) ∈ dom ∫1)
139 coeq2 5436 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = 𝑔 → (abs ∘ 𝑓) = (abs ∘ 𝑔))
140139eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝑔 → ((abs ∘ 𝑓) ∈ dom ∫1 ↔ (abs ∘ 𝑔) ∈ dom ∫1))
141140, 137vtoclga 3412 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 ∈ dom ∫1 → (abs ∘ 𝑔) ∈ dom ∫1)
142141adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ 𝑔) ∈ dom ∫1)
143138, 142i1fadd 23661 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → ((abs ∘ 𝑓) ∘𝑓 + (abs ∘ 𝑔)) ∈ dom ∫1)
144118, 143eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))) ∈ dom ∫1)
14530abscld 14374 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑓𝑡)) ∈ ℝ)
14630absge0d 14382 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝑓𝑡)))
147 elrege0 12471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs‘(𝑓𝑡)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(𝑓𝑡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝑓𝑡))))
148145, 146, 147sylanbrc 701 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑓𝑡)) ∈ (0[,)+∞))
14934abscld 14374 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑔𝑡)) ∈ ℝ)
15034absge0d 14382 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝑔𝑡)))
151 elrege0 12471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs‘(𝑔𝑡)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(𝑔𝑡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝑔𝑡))))
152149, 150, 151sylanbrc 701 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑔𝑡)) ∈ (0[,)+∞))
153 ge0addcl 12477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((abs‘(𝑓𝑡)) ∈ (0[,)+∞) ∧ (abs‘(𝑔𝑡)) ∈ (0[,)+∞)) → ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))) ∈ (0[,)+∞))
154148, 152, 153syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))) ∈ (0[,)+∞))
155154anandirs 909 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))) ∈ (0[,)+∞))
156 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))
157155, 156fmptd 6548 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))):ℝ⟶(0[,)+∞))
158 0plef 23638 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))):ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))):ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))))
159157, 158sylib 208 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))):ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))))
160159simprd 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → 0𝑝𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))))
161 itg2itg1 23702 . . . . . . . . . . 11 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))) ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))) = (∫1‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))))
162 itg1cl 23651 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))) ∈ ℝ)
163162adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))) ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))) → (∫1‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))) ∈ ℝ)
164161, 163eqeltrd 2839 . . . . . . . . . 10 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))) ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))) ∈ ℝ)
165144, 160, 164syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))) ∈ ℝ)
166 icossicc 12453 . . . . . . . . . . 11 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
167 fss 6217 . . . . . . . . . . 11 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))):ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
168157, 166, 167sylancl 697 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
169 0re 10232 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
170 ifcl 4274 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ ℝ)
17170, 169, 170sylancl 697 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ ℝ)
172 readdcl 10211 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((abs‘(𝑓𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝑔𝑡)) ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))) ∈ ℝ)
173145, 149, 172syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))) ∈ ℝ)
174173anandirs 909 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))) ∈ ℝ)
17570leidd 10786 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
176 breq1 4807 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) = if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) → ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ↔ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
177 breq1 4807 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 = if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) → (0 ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ↔ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
178176, 177ifboth 4268 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
179175, 71, 178syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
180 abstri 14269 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓𝑡) ∈ ℂ ∧ (i · (𝑔𝑡)) ∈ ℂ) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ≤ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(i · (𝑔𝑡)))))
18130, 36, 180syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ)) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ≤ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(i · (𝑔𝑡)))))
182181anandirs 909 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ≤ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(i · (𝑔𝑡)))))
183 absmul 14233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((i ∈ ℂ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℂ) → (abs‘(i · (𝑔𝑡))) = ((abs‘i) · (abs‘(𝑔𝑡))))
18431, 34, 183sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(i · (𝑔𝑡))) = ((abs‘i) · (abs‘(𝑔𝑡))))
185 absi 14225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (abs‘i) = 1
186185oveq1i 6823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((abs‘i) · (abs‘(𝑔𝑡))) = (1 · (abs‘(𝑔𝑡)))
187184, 186syl6eq 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(i · (𝑔𝑡))) = (1 · (abs‘(𝑔𝑡))))
188149recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑔𝑡)) ∈ ℂ)
189188mulid2d 10250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (1 · (abs‘(𝑔𝑡))) = (abs‘(𝑔𝑡)))
190187, 189eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(i · (𝑔𝑡))) = (abs‘(𝑔𝑡)))
191190adantll 752 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(i · (𝑔𝑡))) = (abs‘(𝑔𝑡)))
192191oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(i · (𝑔𝑡)))) = ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))
193182, 192breqtrd 4830 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ≤ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))
194171, 70, 174, 179, 193letrd 10386 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ≤ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))
195194ralrimiva 3104 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → ∀𝑡 ∈ ℝ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ≤ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))
196 eqidd 2761 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)))
197 eqidd 2761 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))))
19841, 171, 174, 196, 197ofrfval2 7080 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))) ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ≤ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))))
199195, 198mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))))
200 itg2le 23705 . . . . . . . . . 10 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))))
20191, 168, 199, 200syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))))
202 itg2lecl 23704 . . . . . . . . 9 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) ∈ ℝ)
20391, 165, 201, 202syl3anc 1477 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) ∈ ℝ)
204203ad2antlr 765 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) ∈ ℝ)
20591ad2antlr 765 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
206 breq1 4807 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) = if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) → ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ↔ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)))
207 breq1 4807 . . . . . . . . . . 11 (0 = if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) → (0 ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ↔ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)))
208 elioore 12398 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) → 𝑡 ∈ ℝ)
209208, 175sylan2 492 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
210209adantll 752 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
211210adantlr 753 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
2122rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2133rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
214212, 213jca 555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
215 df-icc 12375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑡 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑡𝑡𝑦)})
216215elixx3g 12381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑢 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑢𝑢𝐵)))
217216simprbi 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐴𝑢𝑢𝐵))
218217simpld 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐴𝑢)
219215elixx3g 12381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑤𝑤𝐵)))
220219simprbi 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐴𝑤𝑤𝐵))
221220simprd 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑤𝐵)
222218, 221anim12i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴𝑢𝑤𝐵))
223 ioossioo 12458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑢𝑤𝐵)) → (𝑢(,)𝑤) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
224214, 222, 223syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑢(,)𝑤) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
2255adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
226224, 225sstrd 3754 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑢(,)𝑤) ⊆ 𝐷)
227226sselda 3744 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → 𝑡𝐷)
228 iftrue 4236 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) = (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
229227, 228syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) = (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
230229adantllr 757 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) = (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
231211, 230breqtrrd 4832 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))
232 breq2 4808 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) = if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) → (0 ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ↔ 0 ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)))
233 breq2 4808 . . . . . . . . . . . . 13 (0 = if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)))
2346sselda 3744 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡𝐷) → 𝑡 ∈ ℝ)
235234adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → 𝑡 ∈ ℝ)
23671adantll 752 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
237235, 236syldan 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → 0 ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
238 0le0 11302 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 0
239238a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ ¬ 𝑡𝐷) → 0 ≤ 0)
240232, 233, 237, 239ifbothda 4267 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → 0 ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))
241240ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → 0 ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))
242206, 207, 231, 241ifbothda 4267 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))
243242ralrimivw 3105 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ∀𝑡 ∈ ℝ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))
24440a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℝ ∈ V)
24518a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ V)
24616, 17ifex 4300 . . . . . . . . . . . 12 if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ V
247246a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ V)
248 eqidd 2761 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)))
249 eqidd 2761 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)))
250244, 245, 247, 248, 249ofrfval2 7080 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)))
251250ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)))
252243, 251mpbird 247 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)))
253 itg2le 23705 . . . . . . . 8 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))))
25487, 205, 252, 253syl3anc 1477 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))))
255 itg2lecl 23704 . . . . . . 7 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) ∈ ℝ)
25687, 204, 254, 255syl3anc 1477 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) ∈ ℝ)
2578ffvelrnda 6522 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡𝐷) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
258257adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡𝐷) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
259227, 258syldan 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
260259adantllr 757 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
261208, 39sylan2 492 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) ∈ ℂ)
262261adantll 752 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) ∈ ℂ)
263262adantlr 753 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) ∈ ℂ)
264260, 263subcld 10584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → ((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ ℂ)
265264abscld 14374 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ)
266264absge0d 14382 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → 0 ≤ (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
267 elrege0 12471 . . . . . . . . . 10 ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))))
268265, 266, 267sylanbrc 701 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ (0[,)+∞))
26974a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → 0 ∈ (0[,)+∞))
270268, 269ifclda 4264 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ∈ (0[,)+∞))
271270adantr 472 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ∈ (0[,)+∞))
272 eqid 2760 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))
273271, 272fmptd 6548 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
274265rexrd 10281 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ*)
275 elxrge0 12474 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))))
276274, 266, 275sylanbrc 701 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ (0[,]+∞))
27783a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → 0 ∈ (0[,]+∞))
278276, 277ifclda 4264 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ∈ (0[,]+∞))
279278adantr 472 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ∈ (0[,]+∞))
280279, 272fmptd 6548 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
281 recncf 22906 . . . . . . . . . . . . 13 ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
282 prid1g 4439 . . . . . . . . . . . . 13 (ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ) → ℜ ∈ {ℜ, ℑ})
283281, 282ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ℜ ∈ {ℜ, ℑ}
284 ftc1anclem2 33799 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐷⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1 ∧ ℜ ∈ {ℜ, ℑ}) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
285283, 284mp3an3 1562 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐷⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
2868, 7, 285syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
287 imcncf 22907 . . . . . . . . . . . . 13 ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
288 prid2g 4440 . . . . . . . . . . . . 13 (ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ) → ℑ ∈ {ℜ, ℑ})
289287, 288ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ℑ ∈ {ℜ, ℑ}
290 ftc1anclem2 33799 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐷⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1 ∧ ℑ ∈ {ℜ, ℑ}) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
291289, 290mp3an3 1562 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐷⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
2928, 7, 291syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
293286, 292readdcld 10261 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))) ∈ ℝ)
294293ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))) ∈ ℝ)
295204, 294readdcld 10261 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))) ∈ ℝ)
296 ge0addcl 12477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
297296adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
298 ifcl 4274 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ (0[,)+∞) ∧ 0 ∈ (0[,)+∞)) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ (0[,)+∞))
29973, 74, 298sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ (0[,)+∞))
300299, 90fmptd 6548 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
301300adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
302296adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
303257recld 14133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡𝐷) → (ℜ‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ)
304303recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡𝐷) → (ℜ‘(𝐹𝑡)) ∈ ℂ)
305304abscld 14374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) ∈ ℝ)
306304absge0d 14382 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡𝐷) → 0 ≤ (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))))
307 elrege0 12471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡)))))
308305, 306, 307sylanbrc 701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) ∈ (0[,)+∞))
30974a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑡𝐷) → 0 ∈ (0[,)+∞))
310308, 309ifclda 4264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) ∈ (0[,)+∞))
311310adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) ∈ (0[,)+∞))
312 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))
313311, 312fmptd 6548 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
314257imcld 14134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡𝐷) → (ℑ‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ)
315314recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡𝐷) → (ℑ‘(𝐹𝑡)) ∈ ℂ)
316315abscld 14374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))) ∈ ℝ)
317315absge0d 14382 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡𝐷) → 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))
318 elrege0 12471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡)))))
319316, 317, 318sylanbrc 701 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))) ∈ (0[,)+∞))
320319, 309ifclda 4264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0) ∈ (0[,)+∞))
321320adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0) ∈ (0[,)+∞))
322 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))
323321, 322fmptd 6548 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
324302, 313, 323, 244, 244, 111off 7077 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))):ℝ⟶(0[,)+∞))
325324adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))):ℝ⟶(0[,)+∞))
32640a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ℝ ∈ V)
327297, 301, 325, 326, 326, 111off 7077 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))):ℝ⟶(0[,)+∞))
328 fss 6217 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))):ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
329327, 166, 328sylancl 697 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
330329adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
331 0xr 10278 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ*
332331a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → 0 ∈ ℝ*)
333274, 332ifclda 4264 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ∈ ℝ*)
334257adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
33539adantll 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) ∈ ℂ)
336235, 335syldan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) ∈ ℂ)
337334, 336subcld 10584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → ((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ ℂ)
338337abscld 14374 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ)
339338rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ*)
340331a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ ¬ 𝑡𝐷) → 0 ∈ ℝ*)
341339, 340ifclda 4264 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ∈ ℝ*)
342341adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ∈ ℝ*)
343336abscld 14374 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ ℝ)
344 0red 10233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ ¬ 𝑡𝐷) → 0 ∈ ℝ)
345343, 344ifclda 4264 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ ℝ)
346 0red 10233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑡𝐷) → 0 ∈ ℝ)
347305, 346ifclda 4264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) ∈ ℝ)
348316, 346ifclda 4264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0) ∈ ℝ)
349347, 348readdcld 10261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∈ ℝ)
350349adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∈ ℝ)
351345, 350readdcld 10261 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
352351rexrd 10281 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))) ∈ ℝ*)
353352adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))) ∈ ℝ*)
354 breq1 4807 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) = if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) → ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ↔ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))
355 breq1 4807 . . . . . . . . . . . . 13 (0 = if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) → (0 ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ↔ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))
356227adantllr 757 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → 𝑡𝐷)
357338leidd 10786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ≤ (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
358357adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡𝐷) → (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ≤ (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
359 iftrue 4236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) = (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
360359adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡𝐷) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) = (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
361358, 360breqtrrd 4832 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡𝐷) → (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))
362356, 361syldan 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))
363 breq2 4808 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) = if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) → (0 ≤ (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ↔ 0 ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))
364 breq2 4808 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 = if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))
365337absge0d 14382 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → 0 ≤ (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
366363, 364, 365, 239ifbothda 4267 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → 0 ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))
367366ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → 0 ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))
368354, 355, 362, 367ifbothda 4267 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))
369257negcld 10571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡𝐷) → -(𝐹𝑡) ∈ ℂ)
370369adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → -(𝐹𝑡) ∈ ℂ)
371336, 370addcld 10251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) + -(𝐹𝑡)) ∈ ℂ)
372371abscld 14374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (abs‘(((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) + -(𝐹𝑡))) ∈ ℝ)
373369abscld 14374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘-(𝐹𝑡)) ∈ ℝ)
374373adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (abs‘-(𝐹𝑡)) ∈ ℝ)
375343, 374readdcld 10261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘-(𝐹𝑡))) ∈ ℝ)
376305, 316readdcld 10261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡𝐷) → ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡)))) ∈ ℝ)
377376adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡)))) ∈ ℝ)
378343, 377readdcld 10261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))) ∈ ℝ)
379336, 370abstrid 14394 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (abs‘(((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) + -(𝐹𝑡))) ≤ ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘-(𝐹𝑡))))
380 mulcl 10212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(𝐹𝑡)) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘(𝐹𝑡))) ∈ ℂ)
38131, 315, 380sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡𝐷) → (i · (ℑ‘(𝐹𝑡))) ∈ ℂ)
382304, 381abstrid 14394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘((ℜ‘(𝐹𝑡)) + (i · (ℑ‘(𝐹𝑡))))) ≤ ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(i · (ℑ‘(𝐹𝑡))))))
383257absnegd 14387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘-(𝐹𝑡)) = (abs‘(𝐹𝑡)))
384257replimd 14136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡𝐷) → (𝐹𝑡) = ((ℜ‘(𝐹𝑡)) + (i · (ℑ‘(𝐹𝑡)))))
385384fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘(𝐹𝑡)) = (abs‘((ℜ‘(𝐹𝑡)) + (i · (ℑ‘(𝐹𝑡))))))
386383, 385eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘-(𝐹𝑡)) = (abs‘((ℜ‘(𝐹𝑡)) + (i · (ℑ‘(𝐹𝑡))))))
387 absmul 14233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(𝐹𝑡)) ∈ ℂ) → (abs‘(i · (ℑ‘(𝐹𝑡)))) = ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡)))))
38831, 315, 387sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘(i · (ℑ‘(𝐹𝑡)))) = ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡)))))
389185oveq1i 6823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡)))) = (1 · (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))
390388, 389syl6eq 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘(i · (ℑ‘(𝐹𝑡)))) = (1 · (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡)))))
391316recnd 10260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))) ∈ ℂ)
392391mulid2d 10250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡𝐷) → (1 · (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡)))) = (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))
393390, 392eqtr2d 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))) = (abs‘(i · (ℑ‘(𝐹𝑡)))))
394393oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡𝐷) → ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡)))) = ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(i · (ℑ‘(𝐹𝑡))))))
395382, 386, 3943brtr4d 4836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘-(𝐹𝑡)) ≤ ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡)))))
396395adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (abs‘-(𝐹𝑡)) ≤ ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡)))))
397374, 377, 343, 396leadd2dd 10834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘-(𝐹𝑡))) ≤ ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))))
398372, 375, 378, 379, 397letrd 10386 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (abs‘(((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) + -(𝐹𝑡))) ≤ ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))))
399334, 336abssubd 14391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) = (abs‘(((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) − (𝐹𝑡))))
400359adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) = (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
401336, 334negsubd 10590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) + -(𝐹𝑡)) = (((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) − (𝐹𝑡)))
402401fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (abs‘(((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) + -(𝐹𝑡))) = (abs‘(((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) − (𝐹𝑡))))
403399, 400, 4023eqtr4d 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) = (abs‘(((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) + -(𝐹𝑡))))
404 iftrue 4236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))), 0) = ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))))
405404adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → if(𝑡𝐷, ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))), 0) = ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))))
406398, 403, 4053brtr4d 4836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ≤ if(𝑡𝐷, ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))), 0))
407406ex 449 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ≤ if(𝑡𝐷, ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))), 0)))
408238a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑡𝐷 → 0 ≤ 0)
409 iffalse 4239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) = 0)
410 iffalse 4239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))), 0) = 0)
411408, 409, 4103brtr4d 4836 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ≤ if(𝑡𝐷, ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))), 0))
412407, 411pm2.61d1 171 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ≤ if(𝑡𝐷, ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))), 0))
413 iftrue 4236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) = (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))))
414 iftrue 4236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0) = (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))
415413, 414oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡𝐷 → (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)) = ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡)))))
416228, 415oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡𝐷 → (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))) = ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))))
417416, 404eqtr4d 2797 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡𝐷 → (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))) = if(𝑡𝐷, ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))), 0))
418 00id 10403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 + 0) = 0
419418oveq2i 6824 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 + (0 + 0)) = (0 + 0)
420419, 418eqtri 2782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 + (0 + 0)) = 0
421 iffalse 4239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) = 0)
422 iffalse 4239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) = 0)
423 iffalse 4239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0) = 0)
424422, 423oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑡𝐷 → (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)) = (0 + 0))
425421, 424oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑡𝐷 → (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))) = (0 + (0 + 0)))
426420, 425, 4103eqtr4a 2820 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑡𝐷 → (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))) = if(𝑡𝐷, ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))), 0))
427417, 426pm2.61i 176 . . . . . . . . . . . . . 14 (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))) = if(𝑡𝐷, ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))), 0)
428412, 427syl6breqr 4846 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ≤ (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))
429428adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ≤ (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))
430333, 342, 353, 368, 429xrletrd 12186 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ≤ (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))
431430ralrimivw 3105 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ∀𝑡 ∈ ℝ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ≤ (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))
432 fvex 6362 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ V
433432, 17ifex 4300 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ∈ V
434433a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ∈ V)
435 ovexd 6843 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))) ∈ V)
436 eqidd 2761 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))
437 ovexd 6843 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∈ V)
438347adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) ∈ ℝ)
439348adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0) ∈ ℝ)
440 eqidd 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)))
441 eqidd 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))
442244, 438, 439, 440, 441offval2 7079 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))
443244, 247, 437, 249, 442offval2 7079 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))))
444244, 434, 435, 436, 443ofrfval2 7080 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) ∘𝑟 ≤ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))) ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ≤ (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))))
445444ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) ∘𝑟 ≤ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))) ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ≤ (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))))
446431, 445mpbird 247 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) ∘𝑟 ≤ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))))
447 itg2le 23705 . . . . . . . . 9 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) ∘𝑟 ≤ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))) ≤ (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))))
448280, 330, 446, 447syl3anc 1477 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))) ≤ (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))))
4496adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → 𝐷 ⊆ ℝ)
450246a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ V)
451 eldifn 3876 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ (ℝ ∖ 𝐷) → ¬ 𝑡𝐷)
452451iffalsed 4241 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ (ℝ ∖ 𝐷) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) = 0)
453452adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ ∖ 𝐷)) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) = 0)
454 ovexd 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (i · (𝑔𝑡)) ∈ V)
45541, 42, 454, 45, 52offval2 7079 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
45639, 455, 56, 57fmptco 6559 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
457456reseq1d 5550 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → ((abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔))) ↾ 𝐷) = ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ↾ 𝐷))
4586resmptd 5610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ↾ 𝐷) = (𝑡𝐷 ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
459457, 458sylan9eqr 2816 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔))) ↾ 𝐷) = (𝑡𝐷 ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
460228mpteq2ia 4892 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡𝐷 ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) = (𝑡𝐷 ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
461459, 460syl6eqr 2812 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔))) ↾ 𝐷) = (𝑡𝐷 ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)))
462 i1fmbf 23641 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔))) ∈ dom ∫1 → (abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔))) ∈ MblFn)
46359, 462syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔))) ∈ MblFn)
464 fdm 6212 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:𝐷⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝐷)
4658, 464syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
466 iblmbf 23733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ 𝐿1𝐹 ∈ MblFn)
467 mbfdm 23594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
4687, 466, 4673syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom 𝐹 ∈ dom vol)
469465, 468eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐷 ∈ dom vol)
470 mbfres 23610 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔))) ∈ MblFn ∧ 𝐷 ∈ dom vol) → ((abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔))) ↾ 𝐷) ∈ MblFn)
471463, 469, 470syl2anr 496 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔))) ↾ 𝐷) ∈ MblFn)
472461, 471eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡𝐷 ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∈ MblFn)
473449, 15, 450, 453, 472mbfss 23612 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∈ MblFn)
474203adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) ∈ ℝ)
475 0cnd 10225 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑡𝐷) → 0 ∈ ℂ)
476304, 475ifclda 4264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0) ∈ ℂ)
477476adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0) ∈ ℂ)
478 eqidd 2761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0)))
47954a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
480479feqmptd 6411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥)))
481 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0) → (abs‘𝑥) = (abs‘if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0)))
482 fvif 6365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (abs‘if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0)) = if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), (abs‘0))
483 abs0 14224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (abs‘0) = 0
484 ifeq2 4235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((abs‘0) = 0 → if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), (abs‘0)) = if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))
485483, 484ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), (abs‘0)) = if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)
486482, 485eqtri 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (abs‘if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0)) = if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)
487481, 486syl6eq 2810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0) → (abs‘𝑥) = if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))
488477, 478, 480, 487fmptco 6559 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs ∘ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)))
489303, 346ifclda 4264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0) ∈ ℝ)
490489adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0) ∈ ℝ)
491 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0))
492490, 491fmptd 6548 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0)):ℝ⟶ℝ)
49314a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
494489adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡𝐷) → if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0) ∈ ℝ)
495451adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (ℝ ∖ 𝐷)) → ¬ 𝑡𝐷)
496495iffalsed 4241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ (ℝ ∖ 𝐷)) → if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0) = 0)
497 iftrue 4236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0) = (ℜ‘(𝐹𝑡)))
498497mpteq2ia 4892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡𝐷 ↦ if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0)) = (𝑡𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑡)))
4998feqmptd 6411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)))
5007, 466syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
501499, 500eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)) ∈ MblFn)
502257ismbfcn2 23605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)) ∈ MblFn ↔ ((𝑡𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑡))) ∈ MblFn ∧ (𝑡𝐷 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑡))) ∈ MblFn)))
503501, 502mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑡𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑡))) ∈ MblFn ∧ (𝑡𝐷 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑡))) ∈ MblFn))
504503simpld 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑡𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑡))) ∈ MblFn)
505498, 504syl5eqel 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑡𝐷 ↦ if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0)) ∈ MblFn)
5066, 493, 494, 496, 505mbfss 23612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0)) ∈ MblFn)
507 ftc1anclem1 33798 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0)):ℝ⟶ℝ ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0)) ∈ MblFn) → (abs ∘ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0))) ∈ MblFn)
508492, 506, 507syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs ∘ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0))) ∈ MblFn)
509488, 508eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∈ MblFn)
510509, 313, 286, 323, 292itg2addnc 33777 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))) = ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))))
511510, 293eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))) ∈ ℝ)
512511adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))) ∈ ℝ)
513473, 301, 474, 325, 512itg2addnc 33777 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))) = ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))))
514510adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))) = ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))))
515514oveq2d 6829 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))) = ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))))
516513, 515eqtrd 2794 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))) = ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))))
517516adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))) = ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))))
518448, 517breqtrd 4830 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))) ≤ ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))))
519 itg2lecl 23704 . . . . . . 7 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))) ≤ ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))) ∈ ℝ)
520280, 295, 518, 519syl3anc 1477 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))) ∈ ℝ)
52169, 79, 256, 273, 520itg2addnc 33777 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))) = ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))))
522244, 245, 434, 248, 436offval2 7079 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))))
523 eqeq2 2771 . . . . . . . . . . 11 (((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))) = if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))), 0) → ((if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) = ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))) ↔ (if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) = if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))), 0)))
524 eqeq2 2771 . . . . . . . . . . 11 (0 = if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))), 0) → ((if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) = 0 ↔ (if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) = if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))), 0)))
525 iftrue 4236 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) = (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
52623, 525oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) → (if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) = ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))))
527526adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) = ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))))
528 iffalse 4239 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) = 0)
529 iffalse 4239 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) = 0)
530528, 529oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . . 13 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) → (if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) = (0 + 0))
531530, 418syl6eq 2810 . . . . . . . . . . . 12 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) → (if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) = 0)
532531adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) = 0)
533523, 524, 527, 532ifbothda 4267 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) = if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))), 0))
534533mpteq2dv 4897 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))), 0)))
535522, 534eqtrd 2794 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))), 0)))
536535ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))), 0)))
537 simplr 809 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1))
538261abscld 14374 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ ℝ)
539538recnd 10260 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ ℂ)
540537, 539sylan 489 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ ℂ)
541265recnd 10260 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ ℂ)
542540, 541addcomd 10430 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))) = ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) + (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
543542ifeq1da 4260 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))), 0) = if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) + (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))
544543mpteq2dv 4897 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) + (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))
545536, 544eqtrd 2794 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) + (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))
546545fveq2d 6356 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) + (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))))
547521, 546eqtr3d 2796 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) + (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))))
54810, 11, 547syl2an 495 . . 3 ((((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < (𝑦 / 2)) ∧ ∃𝑟 ∈ (ran 𝑓 ∪ ran 𝑔)𝑟 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑢𝑤)) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) + (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))))
549548adantr 472 . 2 (((((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < (𝑦 / 2)) ∧ ∃𝑟 ∈ (ran 𝑓 ∪ ran 𝑔)𝑟 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑢𝑤)) ∧ (abs‘(𝑤𝑢)) < ((𝑦 / 2) / (2 · sup((abs “ (ran 𝑓 ∪ ran 𝑔)), ℝ, < )))) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) + (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))))
550 rpcn 12034 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℂ)
5515502halvesd 11470 . . 3 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) = 𝑦)
552551ad3antlr 769 . 2 (((((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < (𝑦 / 2)) ∧ ∃𝑟 ∈ (ran 𝑓 ∪ ran 𝑔)𝑟 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑢𝑤)) ∧ (abs‘(𝑤𝑢)) < ((𝑦 / 2) / (2 · sup((abs “ (ran 𝑓 ∪ ran 𝑔)), ℝ, < )))) → ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) = 𝑦)
5539, 549, 5523brtr3d 4835 1 (((((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < (𝑦 / 2)) ∧ ∃𝑟 ∈ (ran 𝑓 ∪ ran 𝑔)𝑟 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑢𝑤)) ∧ (abs‘(𝑤𝑢)) < ((𝑦 / 2) / (2 · sup((abs “ (ran 𝑓 ∪ ran 𝑔)), ℝ, < )))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) + (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))) < 𝑦)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050  ∃wrex 3051  Vcvv 3340   ∖ cdif 3712   ∪ cun 3713   ⊆ wss 3715  ifcif 4230  {csn 4321  {cpr 4323   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881   × cxp 5264  dom cdm 5266  ran crn 5267   ↾ cres 5268   “ cima 5269   ∘ ccom 5270   Fn wfn 6044  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   ∘𝑓 cof 7060   ∘𝑟 cofr 7061  supcsup 8511  ℂcc 10126  ℝcr 10127  0cc0 10128  1c1 10129  ici 10130   + caddc 10131   · cmul 10133  +∞cpnf 10263  ℝ*cxr 10265   < clt 10266   ≤ cle 10267   − cmin 10458  -cneg 10459   / cdiv 10876  2c2 11262  ℝ+crp 12025  (,)cioo 12368  [,)cico 12370  [,]cicc 12371  ℜcre 14036  ℑcim 14037  abscabs 14173  –cn→ccncf 22880  volcvol 23432  MblFncmbf 23582  ∫1citg1 23583  ∫2citg2 23584  𝐿1cibl 23585  ∫citg 23586  0𝑝c0p 23635 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-ofr 7063  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-rest 16285  df-topgen 16306  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-top 20901  df-topon 20918  df-bases 20952  df-cmp 21392  df-cncf 22882  df-ovol 23433  df-vol 23434  df-mbf 23587  df-itg1 23588  df-itg2 23589  df-ibl 23590  df-0p 23636 This theorem is referenced by:  ftc1anc  33806
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