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Theorem ftc1cnnc 33137
Description: Choice-free proof of ftc1cn 23717. (Contributed by Brendan Leahy, 20-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1cnnc.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
ftc1cnnc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc1cnnc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc1cnnc.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc1cnnc.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
ftc1cnnc.i (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
ftc1cnnc (𝜑 → (ℝ D 𝐺) = 𝐹)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝐴   𝑥,𝐵,𝑡   𝑥,𝐹,𝑡   𝜑,𝑥,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem ftc1cnnc
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑠 𝑢 𝑣 𝑤 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvf 23584 . . . . 5 (ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)⟶ℂ
21a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)⟶ℂ)
3 ffun 6007 . . . 4 ((ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)⟶ℂ → Fun (ℝ D 𝐺))
42, 3syl 17 . . 3 (𝜑 → Fun (ℝ D 𝐺))
5 ax-resscn 9940 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
65a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
7 ftc1cnnc.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
8 ftc1cnnc.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
9 ftc1cnnc.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
10 ftc1cnnc.le . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
11 ssid 3605 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵)
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
13 ioossre 12180 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
1413a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
15 ftc1cnnc.i . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
16 ftc1cnnc.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
17 cncff 22609 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
197, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18ftc1lem2 23710 . . . . . 6 (𝜑𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
20 iccssre 12200 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
218, 9, 20syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
22 eqid 2621 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2322tgioo2 22519 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
246, 19, 21, 23, 22dvbssntr 23577 . . . . 5 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) ⊆ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)))
25 iccntr 22537 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
268, 9, 25syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
2724, 26sseqtrd 3622 . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
28 retop 22478 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
2923, 28eqeltrri 2695 . . . . . . . . . . 11 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ∈ Top
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ∈ Top)
3121adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
32 iooretop 22482 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
3332, 23eleqtri 2696 . . . . . . . . . . 11 (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
3433a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
35 ioossicc 12204 . . . . . . . . . . 11 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
3635a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
37 uniretop 22479 . . . . . . . . . . . 12 ℝ = (topGen‘ran (,))
3823unieqi 4413 . . . . . . . . . . . 12 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
3937, 38eqtri 2643 . . . . . . . . . . 11 ℝ = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
4039ssntr 20775 . . . . . . . . . 10 (((((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ∈ Top ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ) ∧ ((𝐴(,)𝐵) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘(𝐴[,]𝐵)))
4130, 31, 34, 36, 40syl22anc 1324 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘(𝐴[,]𝐵)))
42 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵))
4341, 42sseldd 3585 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘(𝐴[,]𝐵)))
4418ffvelrnda 6317 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑐) ∈ ℂ)
45 cnxmet 22489 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
4613, 5sstri 3593 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
47 xmetres2 22079 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵))) ∈ (∞Met‘(𝐴(,)𝐵)))
4845, 46, 47mp2an 707 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵))) ∈ (∞Met‘(𝐴(,)𝐵))
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵))) ∈ (∞Met‘(𝐴(,)𝐵)))
5045a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
51 ssid 3605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℂ ⊆ ℂ
52 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵))
5322cnfldtop 22500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
5422cnfldtopon 22499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
5554toponunii 20646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
5655restid 16018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
5753, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
5857eqcomi 2630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
5922, 52, 58cncfcn 22625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
6046, 51, 59mp2an 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
6116, 60syl6eleq 2708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
62 resttopon 20878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵)))
6354, 46, 62mp2an 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) ∈ (TopOn‘(𝐴(,)𝐵))
6463toponunii 20646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴(,)𝐵) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵))
6564eleq2i 2690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ 𝑐 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)))
6665biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑐 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)))
67 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵))
6867cncnpi 20995 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ∧ 𝑐 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵))) → 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑐))
6961, 66, 68syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹 ∈ ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑐))
70 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵))) = ((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵)))
7122cnfldtopn 22498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (TopOpen‘ℂfld) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
72 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵)))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵))))
7370, 71, 72metrest 22242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ) → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵)))))
7445, 46, 73mp2an 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵))))
7574oveq1i 6617 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld)) = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵)))) CnP (TopOpen‘ℂfld))
7675fveq1i 6151 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((TopOpen‘ℂfld) ↾t (𝐴(,)𝐵)) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑐) = (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵)))) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑐)
7769, 76syl6eleq 2708 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹 ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵)))) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑐))
7877adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵)))) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑐))
79 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+)
8072, 71metcnpi2 22263 . . . . . . . . . . . 12 (((((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵))) ∈ (∞Met‘(𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)) ∧ (𝐹 ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵)))) CnP (TopOpen‘ℂfld))‘𝑐) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑢((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵)))𝑐) < 𝑣 → ((𝐹𝑢)(abs ∘ − )(𝐹𝑐)) < 𝑤))
8149, 50, 78, 79, 80syl22anc 1324 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑢((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵)))𝑐) < 𝑣 → ((𝐹𝑢)(abs ∘ − )(𝐹𝑐)) < 𝑤))
82 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵))
83 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵))
8482, 83ovresd 6757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑢((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵)))𝑐) = (𝑢(abs ∘ − )𝑐))
85 elioore 12150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑢 ∈ ℝ)
8685recnd 10015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑢 ∈ ℂ)
8786adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑢 ∈ ℂ)
8846sseli 3580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑐 ∈ ℂ)
8988ad3antlr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐 ∈ ℂ)
90 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
9190cnmetdval 22487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑢(abs ∘ − )𝑐) = (abs‘(𝑢𝑐)))
9287, 89, 91syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑢(abs ∘ − )𝑐) = (abs‘(𝑢𝑐)))
9384, 92eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑢((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵)))𝑐) = (abs‘(𝑢𝑐)))
9493breq1d 4625 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑢((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵)))𝑐) < 𝑣 ↔ (abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣))
9518ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
9695ffvelrnda 6317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑢) ∈ ℂ)
9744ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑐) ∈ ℂ)
9890cnmetdval 22487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑢) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑐) ∈ ℂ) → ((𝐹𝑢)(abs ∘ − )(𝐹𝑐)) = (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))))
9996, 97, 98syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹𝑢)(abs ∘ − )(𝐹𝑐)) = (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))))
10099breq1d 4625 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹𝑢)(abs ∘ − )(𝐹𝑐)) < 𝑤 ↔ (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤))
10194, 100imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝑢((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵)))𝑐) < 𝑣 → ((𝐹𝑢)(abs ∘ − )(𝐹𝑐)) < 𝑤) ↔ ((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)))
102101ralbidva 2979 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑢((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵)))𝑐) < 𝑣 → ((𝐹𝑢)(abs ∘ − )(𝐹𝑐)) < 𝑤) ↔ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)))
103 simprll 801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → 𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}))
104 eldifsni 4291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) → 𝑧𝑐)
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → 𝑧𝑐)
10621ssdifssd 3728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ⊆ ℝ)
107106sselda 3584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐})) → 𝑧 ∈ ℝ)
108107ad2ant2r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤))) → 𝑧 ∈ ℝ)
109108ad2ant2r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → 𝑧 ∈ ℝ)
110 elioore 12150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑐 ∈ ℝ)
111110ad3antlr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → 𝑐 ∈ ℝ)
112109, 111lttri2d 10123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → (𝑧𝑐 ↔ (𝑧 < 𝑐𝑐 < 𝑧)))
113112biimpa 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧𝑐) → (𝑧 < 𝑐𝑐 < 𝑧))
114 fveq2 6150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑠 = 𝑧 → (𝐺𝑠) = (𝐺𝑧))
115114oveq1d 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑠 = 𝑧 → ((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) = ((𝐺𝑧) − (𝐺𝑐)))
116 oveq1 6614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑠 = 𝑧 → (𝑠𝑐) = (𝑧𝑐))
117115, 116oveq12d 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑠 = 𝑧 → (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)) = (((𝐺𝑧) − (𝐺𝑐)) / (𝑧𝑐)))
118 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐))) = (𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))
119 ovex 6635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐺𝑧) − (𝐺𝑐)) / (𝑧𝑐)) ∈ V
120117, 118, 119fvmpt 6241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) → ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) = (((𝐺𝑧) − (𝐺𝑐)) / (𝑧𝑐)))
121120ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣) → ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) = (((𝐺𝑧) − (𝐺𝑐)) / (𝑧𝑐)))
122121ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) → ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) = (((𝐺𝑧) − (𝐺𝑐)) / (𝑧𝑐)))
12319ad4antr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
124 eldifi 3712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
125124ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
126125ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
127123, 126ffvelrnd 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
12835sseli 3580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
12919ffvelrnda 6317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺𝑐) ∈ ℂ)
130128, 129sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺𝑐) ∈ ℂ)
131130ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) → (𝐺𝑐) ∈ ℂ)
132109adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) → 𝑧 ∈ ℝ)
133132recnd 10015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) → 𝑧 ∈ ℂ)
13488ad4antlr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) → 𝑐 ∈ ℂ)
135 ltne 10081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑐) → 𝑐𝑧)
136135necomd 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 < 𝑐) → 𝑧𝑐)
137109, 136sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) → 𝑧𝑐)
138127, 131, 133, 134, 137div2subd 10798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝑐)) / (𝑧𝑐)) = (((𝐺𝑐) − (𝐺𝑧)) / (𝑐𝑧)))
139122, 138eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) → ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) = (((𝐺𝑐) − (𝐺𝑧)) / (𝑐𝑧)))
140139oveq1d 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) → (((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) − (𝐹𝑐)) = ((((𝐺𝑐) − (𝐺𝑧)) / (𝑐𝑧)) − (𝐹𝑐)))
141140fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) → (abs‘(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) − (𝐹𝑐))) = (abs‘((((𝐺𝑐) − (𝐺𝑧)) / (𝑐𝑧)) − (𝐹𝑐))))
1428ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1439ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → 𝐵 ∈ ℝ)
14410ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → 𝐴𝐵)
14516ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
14615ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → 𝐹 ∈ 𝐿1)
147 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → 𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵))
148 simplrl 799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → 𝑤 ∈ ℝ+)
149 simplrr 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → 𝑣 ∈ ℝ+)
150 simprlr 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤))
151 oveq1 6614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑢 = 𝑦 → (𝑢𝑐) = (𝑦𝑐))
152151fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑢 = 𝑦 → (abs‘(𝑢𝑐)) = (abs‘(𝑦𝑐)))
153152breq1d 4625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑢 = 𝑦 → ((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 ↔ (abs‘(𝑦𝑐)) < 𝑣))
154 fveq2 6150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑢 = 𝑦 → (𝐹𝑢) = (𝐹𝑦))
155154oveq1d 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑢 = 𝑦 → ((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐)) = ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑐)))
156155fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑢 = 𝑦 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) = (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑐))))
157156breq1d 4625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑢 = 𝑦 → ((abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤 ↔ (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑐))) < 𝑤))
158153, 157imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑢 = 𝑦 → (((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤) ↔ ((abs‘(𝑦𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)))
159158rspccva 3294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝑦𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑐))) < 𝑤))
160150, 159sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝑦𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑐))) < 𝑤))
161103, 124syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
162 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)
163128ad3antlr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
164110recnd 10015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑐 ∈ ℂ)
165164subidd 10327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑐𝑐) = 0)
166165abs00bd 13968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (abs‘(𝑐𝑐)) = 0)
167166ad3antlr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → (abs‘(𝑐𝑐)) = 0)
168149rpgt0d 11822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → 0 < 𝑣)
169167, 168eqbrtrd 4637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → (abs‘(𝑐𝑐)) < 𝑣)
1707, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 118, 148, 149, 160, 161, 162, 163, 169ftc1cnnclem 33136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) → (abs‘((((𝐺𝑐) − (𝐺𝑧)) / (𝑐𝑧)) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)
171141, 170eqbrtrd 4637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧 < 𝑐) → (abs‘(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)
172120oveq1d 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) → (((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) − (𝐹𝑐)) = ((((𝐺𝑧) − (𝐺𝑐)) / (𝑧𝑐)) − (𝐹𝑐)))
173172fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) → (abs‘(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) − (𝐹𝑐))) = (abs‘((((𝐺𝑧) − (𝐺𝑐)) / (𝑧𝑐)) − (𝐹𝑐))))
174173ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣) → (abs‘(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) − (𝐹𝑐))) = (abs‘((((𝐺𝑧) − (𝐺𝑐)) / (𝑧𝑐)) − (𝐹𝑐))))
175174ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑐 < 𝑧) → (abs‘(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) − (𝐹𝑐))) = (abs‘((((𝐺𝑧) − (𝐺𝑐)) / (𝑧𝑐)) − (𝐹𝑐))))
1767, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 118, 148, 149, 160, 163, 169, 161, 162ftc1cnnclem 33136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑐 < 𝑧) → (abs‘((((𝐺𝑧) − (𝐺𝑐)) / (𝑧𝑐)) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)
177175, 176eqbrtrd 4637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑐 < 𝑧) → (abs‘(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)
178171, 177jaodan 825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ (𝑧 < 𝑐𝑐 < 𝑧)) → (abs‘(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)
179113, 178syldan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) ∧ 𝑧𝑐) → (abs‘(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)
180105, 179mpdan 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣)) → (abs‘(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)
181180expr 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤))) → ((abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣 → (abs‘(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) − (𝐹𝑐))) < 𝑤))
182181adantld 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤))) → ((𝑧𝑐 ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣) → (abs‘(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) − (𝐹𝑐))) < 𝑤))
183182expr 642 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐})) → (∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤) → ((𝑧𝑐 ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣) → (abs‘(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)))
184183ralrimdva 2963 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑢𝑐)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝑐))) < 𝑤) → ∀𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐})((𝑧𝑐 ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣) → (abs‘(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)))
185102, 184sylbid 230 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑢((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵)))𝑐) < 𝑣 → ((𝐹𝑢)(abs ∘ − )(𝐹𝑐)) < 𝑤) → ∀𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐})((𝑧𝑐 ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣) → (abs‘(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)))
186185anassrs 679 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (∀𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑢((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵)))𝑐) < 𝑣 → ((𝐹𝑢)(abs ∘ − )(𝐹𝑐)) < 𝑤) → ∀𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐})((𝑧𝑐 ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣) → (abs‘(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)))
187186reximdva 3011 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑣 ∈ ℝ+𝑢 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑢((abs ∘ − ) ↾ ((𝐴(,)𝐵) × (𝐴(,)𝐵)))𝑐) < 𝑣 → ((𝐹𝑢)(abs ∘ − )(𝐹𝑐)) < 𝑤) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐})((𝑧𝑐 ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣) → (abs‘(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) − (𝐹𝑐))) < 𝑤)))
18881, 187mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐})((𝑧𝑐 ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣) → (abs‘(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) − (𝐹𝑐))) < 𝑤))
189188ralrimiva 2960 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐})((𝑧𝑐 ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣) → (abs‘(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) − (𝐹𝑐))) < 𝑤))
19019adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
19121, 5syl6ss 3596 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
192191adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
193128adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵))
194190, 192, 193dvlem 23573 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐})) → (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)) ∈ ℂ)
195194, 118fmptd 6343 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐))):((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐})⟶ℂ)
196191ssdifssd 3728 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ⊆ ℂ)
197196adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ⊆ ℂ)
19888adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐 ∈ ℂ)
199195, 197, 198ellimc3 23556 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹𝑐) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐))) lim 𝑐) ↔ ((𝐹𝑐) ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐})((𝑧𝑐 ∧ (abs‘(𝑧𝑐)) < 𝑣) → (abs‘(((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐)))‘𝑧) − (𝐹𝑐))) < 𝑤))))
20044, 189, 199mpbir2and 956 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑐) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐))) lim 𝑐))
201 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
202201, 22, 118, 6, 19, 21eldv 23575 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑐(ℝ D 𝐺)(𝐹𝑐) ↔ (𝑐 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘(𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝐹𝑐) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐))) lim 𝑐))))
203202adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑐(ℝ D 𝐺)(𝐹𝑐) ↔ (𝑐 ∈ ((int‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))‘(𝐴[,]𝐵)) ∧ (𝐹𝑐) ∈ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑠) − (𝐺𝑐)) / (𝑠𝑐))) lim 𝑐))))
20443, 200, 203mpbir2and 956 . . . . . . 7 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐(ℝ D 𝐺)(𝐹𝑐))
205 vex 3189 . . . . . . . 8 𝑐 ∈ V
206 fvex 6160 . . . . . . . 8 (𝐹𝑐) ∈ V
207205, 206breldm 5291 . . . . . . 7 (𝑐(ℝ D 𝐺)(𝐹𝑐) → 𝑐 ∈ dom (ℝ D 𝐺))
208204, 207syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑐 ∈ dom (ℝ D 𝐺))
209208ex 450 . . . . 5 (𝜑 → (𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑐 ∈ dom (ℝ D 𝐺)))
210209ssrdv 3590 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ dom (ℝ D 𝐺))
21127, 210eqssd 3601 . . 3 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
212 df-fn 5852 . . 3 ((ℝ D 𝐺) Fn (𝐴(,)𝐵) ↔ (Fun (ℝ D 𝐺) ∧ dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵)))
2134, 211, 212sylanbrc 697 . 2 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) Fn (𝐴(,)𝐵))
214 ffn 6004 . . 3 (𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ → 𝐹 Fn (𝐴(,)𝐵))
21518, 214syl 17 . 2 (𝜑𝐹 Fn (𝐴(,)𝐵))
2164adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → Fun (ℝ D 𝐺))
217 funbrfv 6193 . . 3 (Fun (ℝ D 𝐺) → (𝑐(ℝ D 𝐺)(𝐹𝑐) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑐) = (𝐹𝑐)))
218216, 204, 217sylc 65 . 2 ((𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑐) = (𝐹𝑐))
219213, 215, 218eqfnfvd 6272 1 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  cdif 3553  wss 3556  {csn 4150   cuni 4404   class class class wbr 4615  cmpt 4675   × cxp 5074  dom cdm 5076  ran crn 5077  cres 5078  ccom 5080  Fun wfun 5843   Fn wfn 5844  wf 5845  cfv 5849  (class class class)co 6607  cc 9881  cr 9882  0cc0 9883   < clt 10021  cle 10022  cmin 10213   / cdiv 10631  +crp 11779  (,)cioo 12120  [,]cicc 12123  abscabs 13911  t crest 16005  TopOpenctopn 16006  topGenctg 16022  ∞Metcxmt 19653  MetOpencmopn 19658  fldccnfld 19668  Topctop 20620  TopOnctopon 20637  intcnt 20734   Cn ccn 20941   CnP ccnp 20942  cnccncf 22592  𝐿1cibl 23299  citg 23300   lim climc 23539   D cdv 23540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961  ax-addf 9962  ax-mulf 9963
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-iin 4490  df-disj 4586  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-of 6853  df-ofr 6854  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7244  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-2o 7509  df-oadd 7512  df-omul 7513  df-er 7690  df-map 7807  df-pm 7808  df-ixp 7856  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-fsupp 8223  df-fi 8264  df-sup 8295  df-inf 8296  df-oi 8362  df-card 8712  df-acn 8715  df-cda 8937  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-5 11029  df-6 11030  df-7 11031  df-8 11032  df-9 11033  df-n0 11240  df-z 11325  df-dec 11441  df-uz 11635  df-q 11736  df-rp 11780  df-xneg 11893  df-xadd 11894  df-xmul 11895  df-ioo 12124  df-ico 12126  df-icc 12127  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-fl 12536  df-mod 12612  df-seq 12745  df-exp 12804  df-hash 13061  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-clim 14156  df-rlim 14157  df-sum 14354  df-struct 15786  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ress 15791  df-plusg 15878  df-mulr 15879  df-starv 15880  df-sca 15881  df-vsca 15882  df-ip 15883  df-tset 15884  df-ple 15885  df-ds 15888  df-unif 15889  df-hom 15890  df-cco 15891  df-rest 16007  df-topn 16008  df-0g 16026  df-gsum 16027  df-topgen 16028  df-pt 16029  df-prds 16032  df-xrs 16086  df-qtop 16091  df-imas 16092  df-xps 16094  df-mre 16170  df-mrc 16171  df-acs 16173  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-submnd 17260  df-mulg 17465  df-cntz 17674  df-cmn 18119  df-psmet 19660  df-xmet 19661  df-met 19662  df-bl 19663  df-mopn 19664  df-fbas 19665  df-fg 19666  df-cnfld 19669  df-top 20621  df-topon 20638  df-topsp 20651  df-bases 20664  df-cld 20736  df-ntr 20737  df-cls 20738  df-nei 20815  df-lp 20853  df-perf 20854  df-cn 20944  df-cnp 20945  df-haus 21032  df-cmp 21103  df-tx 21278  df-hmeo 21471  df-fil 21563  df-fm 21655  df-flim 21656  df-flf 21657  df-xms 22038  df-ms 22039  df-tms 22040  df-cncf 22594  df-ovol 23146  df-vol 23147  df-mbf 23301  df-itg1 23302  df-itg2 23303  df-ibl 23304  df-itg 23305  df-0p 23350  df-limc 23543  df-dv 23544
This theorem is referenced by:  ftc2nc  33147
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