Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ftc1cnnclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1cnnclem 33142
Description: Lemma for ftc1cnnc 33143; cf. ftc1lem4 23719. The stronger assumptions of ftc1cn 23723 are exploited to make use of weaker theorems. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1cnnc.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
ftc1cnnc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc1cnnc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc1cnnc.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc1cnnc.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
ftc1cnnc.i (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1cnnclem.c (𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵))
ftc1cnnclem.h 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝑐}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝑐)) / (𝑧𝑐)))
ftc1cnnclem.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
ftc1cnnclem.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
ftc1cnnclem.fc ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝑦𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑐))) < 𝐸))
ftc1cnnclem.x1 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ftc1cnnclem.x2 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝑐)) < 𝑅)
ftc1cnnclem.y1 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ftc1cnnclem.y2 (𝜑 → (abs‘(𝑌𝑐)) < 𝑅)
Assertion
Ref Expression
ftc1cnnclem ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) − (𝐹𝑐))) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑡,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧,𝑡   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧,𝑡   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧,𝑡   𝑦,𝐺,𝑧   𝑥,𝑐,𝑦,𝑧,𝑡   𝑥,𝑋,𝑧,𝑡   𝑦,𝐸,𝑡   𝑦,𝐻   𝑥,𝑌,𝑡   𝑦,𝑅
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐)   𝐴(𝑐)   𝐵(𝑐)   𝑅(𝑥,𝑧,𝑡,𝑐)   𝐸(𝑥,𝑧,𝑐)   𝐹(𝑐)   𝐺(𝑥,𝑡,𝑐)   𝐻(𝑥,𝑧,𝑡,𝑐)   𝑋(𝑦,𝑐)   𝑌(𝑦,𝑧,𝑐)

Proof of Theorem ftc1cnnclem
StepHypRef Expression
1 ftc1cnnc.a . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ftc1cnnc.b . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 iccssre 12204 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
41, 2, 3syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
5 ftc1cnnclem.x1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
64, 5sseldd 3588 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
7 ftc1cnnclem.y1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
84, 7sseldd 3588 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
9 ltle 10077 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋 < 𝑌𝑋𝑌))
106, 8, 9syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 < 𝑌𝑋𝑌))
1110imp 445 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝑋𝑌)
12 ftc1cnnc.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
13 ftc1cnnc.le . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝐵)
14 ssid 3608 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵)
1514a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
16 ioossre 12184 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
1716a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
18 ftc1cnnc.i . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
19 ftc1cnnc.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
20 cncff 22615 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
2212, 1, 2, 13, 15, 17, 18, 21, 5, 7ftc1lem1 23715 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝑌) → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
2311, 22syldan 487 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
241rexrd 10040 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
252rexrd 10040 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
26 elicc1 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ*𝐴𝑋𝑋𝐵)))
2726biimpa 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑋 ∈ ℝ*𝐴𝑋𝑋𝐵))
2827simp2d 1072 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑋)
2924, 25, 5, 28syl21anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴𝑋)
30 iccleub 12178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑌𝐵)
3124, 25, 7, 30syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑌𝐵)
32 ioossioo 12214 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑋𝑌𝐵)) → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
3324, 25, 29, 31, 32syl22anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
3433sselda 3587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3521ffvelrnda 6320 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
3634, 35syldan 487 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
37 ftc1cnnclem.c . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3821, 37ffvelrnd 6321 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝑐) ∈ ℂ)
3938adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹𝑐) ∈ ℂ)
4036, 39npcand 10347 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) + (𝐹𝑐)) = (𝐹𝑡))
4140itgeq2dv 23467 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) + (𝐹𝑐)) d𝑡 = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
4236, 39subcld 10343 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) ∈ ℂ)
43 ioombl 23252 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol)
45 fvex 6163 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹𝑡) ∈ V
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑡) ∈ V)
4721feqmptd 6211 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑡)))
4847, 18eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
4933, 44, 46, 48iblss 23490 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
50 fconstmpt 5128 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋(,)𝑌) × {(𝐹𝑐)}) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹𝑐))
51 mblvol 23217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol → (vol‘(𝑋(,)𝑌)) = (vol*‘(𝑋(,)𝑌)))
5243, 51ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (vol‘(𝑋(,)𝑌)) = (vol*‘(𝑋(,)𝑌))
53 ioossicc 12208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌)
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌))
55 iccmbl 23253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol)
566, 8, 55syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol)
57 mblss 23218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
59 mblvol 23217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) = (vol*‘(𝑋[,]𝑌)))
6056, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) = (vol*‘(𝑋[,]𝑌)))
61 iccvolcl 23254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ)
626, 8, 61syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ)
6360, 62eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (vol*‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ)
64 ovolsscl 23173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌) ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ)
6554, 58, 63, 64syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ)
6652, 65syl5eqel 2702 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ)
67 iblconst 23503 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑐) ∈ ℂ) → ((𝑋(,)𝑌) × {(𝐹𝑐)}) ∈ 𝐿1)
6844, 66, 38, 67syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑋(,)𝑌) × {(𝐹𝑐)}) ∈ 𝐿1)
6950, 68syl5eqelr 2703 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹𝑐)) ∈ 𝐿1)
70 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . 15 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
7170subcn 22588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
7321, 33feqresmpt 6212 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹𝑡)))
74 rescncf 22619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵) → (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)))
7533, 19, 74sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
7673, 75eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
77 ioossre 12184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ
78 ax-resscn 9944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℝ ⊆ ℂ
7977, 78sstri 3596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℂ
80 ssid 3608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℂ ⊆ ℂ
81 cncfmptc 22633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑐) ∈ ℂ ∧ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹𝑐)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
8279, 80, 81mp3an23 1413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑐) ∈ ℂ → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹𝑐)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
8338, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹𝑐)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
8470, 72, 76, 83cncfmpt2f 22636 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
85 cnmbf 23345 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) ∈ MblFn)
8643, 84, 85sylancr 694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) ∈ MblFn)
8736, 49, 39, 69, 86iblsubnc 33130 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) ∈ 𝐿1)
8840mpteq2dva 4709 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) + (𝐹𝑐))) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹𝑡)))
8988, 73eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) + (𝐹𝑐))) = (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)))
90 iblmbf 23453 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ 𝐿1𝐹 ∈ MblFn)
9118, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
92 mbfres 23330 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol) → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ MblFn)
9391, 43, 92sylancl 693 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝑋(,)𝑌)) ∈ MblFn)
9489, 93eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) + (𝐹𝑐))) ∈ MblFn)
9542, 87, 39, 69, 94itgaddnc 33129 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) + (𝐹𝑐)) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑐) d𝑡))
9641, 95eqtr3d 2657 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑐) d𝑡))
9796adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑐) d𝑡))
98 itgconst 23504 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑐) ∈ ℂ) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑐) d𝑡 = ((𝐹𝑐) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
9944, 66, 38, 98syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑐) d𝑡 = ((𝐹𝑐) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
10099adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑐) d𝑡 = ((𝐹𝑐) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
1016adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ ℝ)
1028adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
103 ovolioo 23255 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝑌) → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) = (𝑌𝑋))
104101, 102, 11, 103syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) = (𝑌𝑋))
10552, 104syl5eq 2667 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (vol‘(𝑋(,)𝑌)) = (𝑌𝑋))
106105oveq2d 6626 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((𝐹𝑐) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))) = ((𝐹𝑐) · (𝑌𝑋)))
107100, 106eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑐) d𝑡 = ((𝐹𝑐) · (𝑌𝑋)))
108107oveq2d 6626 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑐) d𝑡) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡 + ((𝐹𝑐) · (𝑌𝑋))))
10923, 97, 1083eqtrd 2659 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡 + ((𝐹𝑐) · (𝑌𝑋))))
110109oveq1d 6625 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡 + ((𝐹𝑐) · (𝑌𝑋))) / (𝑌𝑋)))
111 ovex 6638 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) ∈ V
112111a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) ∈ V)
113112, 87itgcl 23469 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡 ∈ ℂ)
114113adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡 ∈ ℂ)
11538adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝐹𝑐) ∈ ℂ)
1168, 6resubcld 10409 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌𝑋) ∈ ℝ)
117116recnd 10019 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌𝑋) ∈ ℂ)
118117adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝑌𝑋) ∈ ℂ)
119115, 118mulcld 10011 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((𝐹𝑐) · (𝑌𝑋)) ∈ ℂ)
1206, 8posdifd 10565 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ↔ 0 < (𝑌𝑋)))
121120biimpa 501 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 < (𝑌𝑋))
122121gt0ne0d 10543 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝑌𝑋) ≠ 0)
123114, 119, 118, 122divdird 10790 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡 + ((𝐹𝑐) · (𝑌𝑋))) / (𝑌𝑋)) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) + (((𝐹𝑐) · (𝑌𝑋)) / (𝑌𝑋))))
124115, 118, 122divcan4d 10758 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (((𝐹𝑐) · (𝑌𝑋)) / (𝑌𝑋)) = (𝐹𝑐))
125124oveq2d 6626 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) + (((𝐹𝑐) · (𝑌𝑋)) / (𝑌𝑋))) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) + (𝐹𝑐)))
126110, 123, 1253eqtrd 2659 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) + (𝐹𝑐)))
127126oveq1d 6625 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) − (𝐹𝑐)) = (((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) + (𝐹𝑐)) − (𝐹𝑐)))
128114, 118, 122divcld 10752 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) ∈ ℂ)
129128, 115pncand 10344 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) + (𝐹𝑐)) − (𝐹𝑐)) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡 / (𝑌𝑋)))
130127, 129eqtrd 2655 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) − (𝐹𝑐)) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡 / (𝑌𝑋)))
131130fveq2d 6157 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) − (𝐹𝑐))) = (abs‘(∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡 / (𝑌𝑋))))
132114, 118, 122absdivd 14135 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘(∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡 / (𝑌𝑋))) = ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) / (abs‘(𝑌𝑋))))
133116adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝑌𝑋) ∈ ℝ)
134 0re 9991 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
135 ltle 10077 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑌𝑋) ∈ ℝ) → (0 < (𝑌𝑋) → 0 ≤ (𝑌𝑋)))
136134, 133, 135sylancr 694 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (0 < (𝑌𝑋) → 0 ≤ (𝑌𝑋)))
137121, 136mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 ≤ (𝑌𝑋))
138133, 137absidd 14102 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘(𝑌𝑋)) = (𝑌𝑋))
139138oveq2d 6626 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) / (abs‘(𝑌𝑋))) = ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) / (𝑌𝑋)))
140131, 132, 1393eqtrd 2659 . 2 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) − (𝐹𝑐))) = ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) / (𝑌𝑋)))
141114abscld 14116 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) ∈ ℝ)
14242abscld 14116 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) ∈ ℝ)
143 cncfss 22621 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℝ) ⊆ (ℂ–cn→ℂ))
14478, 80, 143mp2an 707 . . . . . . . . . . 11 (ℂ–cn→ℝ) ⊆ (ℂ–cn→ℂ)
145 abscncf 22623 . . . . . . . . . . 11 abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
146144, 145sselii 3584 . . . . . . . . . 10 abs ∈ (ℂ–cn→ℂ)
147146a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → abs ∈ (ℂ–cn→ℂ))
148147, 84cncfmpt1f 22635 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
149 cnmbf 23345 . . . . . . . 8 (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)))) ∈ MblFn)
15043, 148, 149sylancr 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)))) ∈ MblFn)
151112, 87, 150iblabsnc 33133 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)))) ∈ 𝐿1)
152142, 151itgrecl 23483 . . . . 5 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) d𝑡 ∈ ℝ)
153152adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) d𝑡 ∈ ℝ)
154 ftc1cnnclem.e . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
155154rpred 11823 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
156116, 155remulcld 10021 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑌𝑋) · 𝐸) ∈ ℝ)
157156adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((𝑌𝑋) · 𝐸) ∈ ℝ)
158113cjcld 13877 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) ∈ ℂ)
159 cncfmptc 22633 . . . . . . . . . 10 (((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
16079, 80, 159mp3an23 1413 . . . . . . . . 9 ((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
161158, 160syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡)) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
162 nfcv 2761 . . . . . . . . . 10 𝑥((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))
163 nfcsb1v 3534 . . . . . . . . . 10 𝑡𝑥 / 𝑡((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))
164 csbeq1a 3527 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑥 → ((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) = 𝑥 / 𝑡((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)))
165162, 163, 164cbvmpt 4714 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) = (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝑥 / 𝑡((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)))
166165, 84syl5eqelr 2703 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝑥 / 𝑡((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
167161, 166mulcncf 23134 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) · 𝑥 / 𝑡((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
168 cnmbf 23345 . . . . . . 7 (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) · 𝑥 / 𝑡((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) · 𝑥 / 𝑡((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)))) ∈ MblFn)
16943, 167, 168sylancr 694 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((∗‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) · 𝑥 / 𝑡((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)))) ∈ MblFn)
17042, 87, 150, 169itgabsnc 33138 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) ≤ ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) d𝑡)
171170adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) ≤ ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) d𝑡)
172 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
173155adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐸 ∈ ℝ)
174 fconstmpt 5128 . . . . . . . . . 10 ((𝑋(,)𝑌) × {𝐸}) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)
175154rpcnd 11825 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
176 iblconst 23503 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → ((𝑋(,)𝑌) × {𝐸}) ∈ 𝐿1)
17744, 66, 175, 176syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋(,)𝑌) × {𝐸}) ∈ 𝐿1)
178174, 177syl5eqelr 2703 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ 𝐿1)
179 cncfmptc 22633 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸 ∈ ℂ ∧ (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
18079, 80, 179mp3an23 1413 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸 ∈ ℂ → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
181175, 180syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
18270, 72, 181, 148cncfmpt2f 22636 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
183 cnmbf 23345 . . . . . . . . . 10 (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ)) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))))) ∈ MblFn)
18443, 182, 183sylancr 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))))) ∈ MblFn)
185173, 178, 142, 151, 184iblsubnc 33130 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))))) ∈ 𝐿1)
186185adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))))) ∈ 𝐿1)
187 ftc1cnnclem.fc . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((abs‘(𝑦𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑐))) < 𝐸))
188187ralrimiva 2961 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑦𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑐))) < 𝐸))
189188adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑦𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑐))) < 𝐸))
19016, 37sseldi 3585 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑐 ∈ ℝ)
191 ftc1cnnclem.r . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
192191rpred 11823 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
193190, 192resubcld 10409 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑐𝑅) ∈ ℝ)
194193adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑐𝑅) ∈ ℝ)
1956adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑋 ∈ ℝ)
196 elioore 12154 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 𝑡 ∈ ℝ)
197196adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 ∈ ℝ)
198 ftc1cnnclem.x2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝑐)) < 𝑅)
1996, 190, 192absdifltd 14113 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝑐)) < 𝑅 ↔ ((𝑐𝑅) < 𝑋𝑋 < (𝑐 + 𝑅))))
200198, 199mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑐𝑅) < 𝑋𝑋 < (𝑐 + 𝑅)))
201200simpld 475 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑐𝑅) < 𝑋)
202201adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑐𝑅) < 𝑋)
203 eliooord 12182 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) → (𝑋 < 𝑡𝑡 < 𝑌))
204203adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑋 < 𝑡𝑡 < 𝑌))
205204simpld 475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑋 < 𝑡)
206194, 195, 197, 202, 205lttrd 10149 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑐𝑅) < 𝑡)
2078adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑌 ∈ ℝ)
208190, 192readdcld 10020 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑐 + 𝑅) ∈ ℝ)
209208adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑐 + 𝑅) ∈ ℝ)
210204simprd 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 < 𝑌)
211 ftc1cnnclem.y2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs‘(𝑌𝑐)) < 𝑅)
2128, 190, 192absdifltd 14113 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘(𝑌𝑐)) < 𝑅 ↔ ((𝑐𝑅) < 𝑌𝑌 < (𝑐 + 𝑅))))
213211, 212mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑐𝑅) < 𝑌𝑌 < (𝑐 + 𝑅)))
214213simprd 479 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 < (𝑐 + 𝑅))
215214adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑌 < (𝑐 + 𝑅))
216197, 207, 209, 210, 215lttrd 10149 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 < (𝑐 + 𝑅))
217190adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑐 ∈ ℝ)
218192adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑅 ∈ ℝ)
219197, 217, 218absdifltd 14113 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((abs‘(𝑡𝑐)) < 𝑅 ↔ ((𝑐𝑅) < 𝑡𝑡 < (𝑐 + 𝑅))))
220206, 216, 219mpbir2and 956 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘(𝑡𝑐)) < 𝑅)
221 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑡 → (𝑦𝑐) = (𝑡𝑐))
222221fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑡 → (abs‘(𝑦𝑐)) = (abs‘(𝑡𝑐)))
223222breq1d 4628 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑡 → ((abs‘(𝑦𝑐)) < 𝑅 ↔ (abs‘(𝑡𝑐)) < 𝑅))
224 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑡 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑡))
225224oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑡 → ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑐)) = ((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)))
226225fveq2d 6157 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑡 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑐))) = (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))))
227226breq1d 4628 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑡 → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑐))) < 𝐸 ↔ (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) < 𝐸))
228223, 227imbi12d 334 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑡 → (((abs‘(𝑦𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑐))) < 𝐸) ↔ ((abs‘(𝑡𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) < 𝐸)))
229228rspcv 3294 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)((abs‘(𝑦𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑐))) < 𝐸) → ((abs‘(𝑡𝑐)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) < 𝐸)))
23034, 189, 220, 229syl3c 66 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) < 𝐸)
231 difrp 11819 . . . . . . . . . 10 (((abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) < 𝐸 ↔ (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)))) ∈ ℝ+))
232142, 173, 231syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) < 𝐸 ↔ (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)))) ∈ ℝ+))
233230, 232mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)))) ∈ ℝ+)
234233adantlr 750 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)))) ∈ ℝ+)
235182adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))))) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
236172, 186, 234, 235itggt0cn 33141 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 < ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)))) d𝑡)
237173, 178, 142, 151, 184itgsubnc 33131 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)))) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) d𝑡))
238237adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)))) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) d𝑡))
239 itgconst 23504 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
24044, 66, 175, 239syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
241240adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
242105oveq2d 6626 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))) = (𝐸 · (𝑌𝑋)))
243175, 117mulcomd 10012 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 · (𝑌𝑋)) = ((𝑌𝑋) · 𝐸))
244243adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝐸 · (𝑌𝑋)) = ((𝑌𝑋) · 𝐸))
245241, 242, 2443eqtrd 2659 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = ((𝑌𝑋) · 𝐸))
246245oveq1d 6625 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) d𝑡) = (((𝑌𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) d𝑡))
247238, 246eqtrd 2655 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)))) d𝑡 = (((𝑌𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) d𝑡))
248236, 247breqtrd 4644 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 < (((𝑌𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) d𝑡))
249152, 156posdifd 10565 . . . . . 6 (𝜑 → (∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) d𝑡 < ((𝑌𝑋) · 𝐸) ↔ 0 < (((𝑌𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) d𝑡)))
250249biimpar 502 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (((𝑌𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) d𝑡)) → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) d𝑡 < ((𝑌𝑋) · 𝐸))
251248, 250syldan 487 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐))) d𝑡 < ((𝑌𝑋) · 𝐸))
252141, 153, 157, 171, 251lelttrd 10146 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) < ((𝑌𝑋) · 𝐸))
253155adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝐸 ∈ ℝ)
254 ltdivmul 10849 . . . 4 (((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ ∧ ((𝑌𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑌𝑋))) → (((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) / (𝑌𝑋)) < 𝐸 ↔ (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) < ((𝑌𝑋) · 𝐸)))
255141, 253, 133, 121, 254syl112anc 1327 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) / (𝑌𝑋)) < 𝐸 ↔ (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) < ((𝑌𝑋) · 𝐸)))
256252, 255mpbird 247 . 2 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝑐)) d𝑡) / (𝑌𝑋)) < 𝐸)
257140, 256eqbrtrd 4640 1 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) − (𝐹𝑐))) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3189  csb 3518  cdif 3556  wss 3559  {csn 4153   class class class wbr 4618  cmpt 4678   × cxp 5077  dom cdm 5079  cres 5081  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9885  cr 9886  0cc0 9887   + caddc 9890   · cmul 9892  *cxr 10024   < clt 10025  cle 10026  cmin 10217   / cdiv 10635  +crp 11783  (,)cioo 12124  [,]cicc 12127  ccj 13777  abscabs 13915  TopOpenctopn 16010  fldccnfld 19674   Cn ccn 20947   ×t ctx 21282  cnccncf 22598  vol*covol 23150  volcvol 23151  MblFncmbf 23302  𝐿1cibl 23305  citg 23306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965  ax-addf 9966  ax-mulf 9967
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-disj 4589  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-ofr 6858  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-omul 7517  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7860  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-fsupp 8227  df-fi 8268  df-sup 8299  df-inf 8300  df-oi 8366  df-card 8716  df-acn 8719  df-cda 8941  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-q 11740  df-rp 11784  df-xneg 11897  df-xadd 11898  df-xmul 11899  df-ioo 12128  df-ico 12130  df-icc 12131  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-fl 12540  df-mod 12616  df-seq 12749  df-exp 12808  df-hash 13065  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-clim 14160  df-rlim 14161  df-sum 14358  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-starv 15884  df-sca 15885  df-vsca 15886  df-ip 15887  df-tset 15888  df-ple 15889  df-ds 15892  df-unif 15893  df-hom 15894  df-cco 15895  df-rest 16011  df-topn 16012  df-0g 16030  df-gsum 16031  df-topgen 16032  df-pt 16033  df-prds 16036  df-xrs 16090  df-qtop 16095  df-imas 16096  df-xps 16098  df-mre 16174  df-mrc 16175  df-acs 16177  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-submnd 17264  df-mulg 17469  df-cntz 17678  df-cmn 18123  df-psmet 19666  df-xmet 19667  df-met 19668  df-bl 19669  df-mopn 19670  df-cnfld 19675  df-top 20627  df-topon 20644  df-topsp 20657  df-bases 20670  df-cn 20950  df-cnp 20951  df-cmp 21109  df-tx 21284  df-hmeo 21477  df-xms 22044  df-ms 22045  df-tms 22046  df-cncf 22600  df-ovol 23152  df-vol 23153  df-mbf 23307  df-itg1 23308  df-itg2 23309  df-ibl 23310  df-itg 23311  df-0p 23356
This theorem is referenced by:  ftc1cnnc  33143
  Copyright terms: Public domain W3C validator