MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1lem1 23843
Description: Lemma for ftc1a 23845 and ftc1 23850. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
ftc1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc1.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1a.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
ftc1lem1.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ftc1lem1.y (𝜑𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
Assertion
Ref Expression
ftc1lem1 ((𝜑𝑋𝑌) → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝐷   𝑡,𝐴,𝑥   𝑡,𝐵,𝑥   𝑡,𝑋,𝑥   𝜑,𝑡,𝑥   𝑡,𝑌,𝑥   𝑡,𝐹,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem ftc1lem1
StepHypRef Expression
1 ftc1lem1.y . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2 oveq2 6698 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑌 → (𝐴(,)𝑥) = (𝐴(,)𝑌))
3 itgeq1 23584 . . . . . . . 8 ((𝐴(,)𝑥) = (𝐴(,)𝑌) → ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
5 ftc1.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
6 itgex 23582 . . . . . . 7 ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡 ∈ V
74, 5, 6fvmpt 6321 . . . . . 6 (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐺𝑌) = ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
81, 7syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺𝑌) = ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
98adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑌) → (𝐺𝑌) = ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
10 ftc1.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1110adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝐴 ∈ ℝ)
12 ftc1.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
13 iccssre 12293 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
1410, 12, 13syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
1514, 1sseldd 3637 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
1615adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
17 ftc1lem1.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
1814, 17sseldd 3637 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1918adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝑋 ∈ ℝ)
20 elicc2 12276 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵)))
2110, 12, 20syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵)))
2217, 21mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵))
2322simp2d 1094 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑋)
2423adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝐴𝑋)
25 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝑋𝑌)
26 elicc2 12276 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝑌) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑌)))
2710, 15, 26syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝑌) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑌)))
2827adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑌) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝑌) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝑌)))
2919, 24, 25, 28mpbir3and 1264 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑌) → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝑌))
3012rexrd 10127 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
31 elicc2 12276 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑌𝑌𝐵)))
3210, 12, 31syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑌𝑌𝐵)))
331, 32mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑌𝑌𝐵))
3433simp3d 1095 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌𝐵)
35 iooss2 12249 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑌𝐵) → (𝐴(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
3630, 34, 35syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
37 ftc1.s . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
3836, 37sstrd 3646 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝑌) ⊆ 𝐷)
3938adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑌) → (𝐴(,)𝑌) ⊆ 𝐷)
4039sselda 3636 . . . . . 6 (((𝜑𝑋𝑌) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑌)) → 𝑡𝐷)
41 ftc1a.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
4241ffvelrnda 6399 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝐷) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
4342adantlr 751 . . . . . 6 (((𝜑𝑋𝑌) ∧ 𝑡𝐷) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
4440, 43syldan 486 . . . . 5 (((𝜑𝑋𝑌) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑌)) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
4522simp3d 1095 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐵)
46 iooss2 12249 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑋𝐵) → (𝐴(,)𝑋) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
4730, 45, 46syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝑋) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
4847, 37sstrd 3646 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝑋) ⊆ 𝐷)
49 ioombl 23379 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝑋) ∈ dom vol
5049a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝑋) ∈ dom vol)
51 fvexd 6241 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡𝐷) → (𝐹𝑡) ∈ V)
5241feqmptd 6288 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)))
53 ftc1.i . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
5452, 53eqeltrrd 2731 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
5548, 50, 51, 54iblss 23616 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
5655adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑌) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑋) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
5710rexrd 10127 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
58 iooss1 12248 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑋) → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝑌))
5957, 23, 58syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝑌))
6059, 36sstrd 3646 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
6160, 37sstrd 3646 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ 𝐷)
62 ioombl 23379 . . . . . . . 8 (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol
6362a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol)
6461, 63, 51, 54iblss 23616 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
6564adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑌) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
6611, 16, 29, 44, 56, 65itgsplitioo 23649 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑌) → ∫(𝐴(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡 = (∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡))
679, 66eqtrd 2685 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → (𝐺𝑌) = (∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡))
68 oveq2 6698 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝐴(,)𝑥) = (𝐴(,)𝑋))
69 itgeq1 23584 . . . . . . 7 ((𝐴(,)𝑥) = (𝐴(,)𝑋) → ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡)
7068, 69syl 17 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡)
71 itgex 23582 . . . . . 6 ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡 ∈ V
7270, 5, 71fvmpt 6321 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐺𝑋) = ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡)
7317, 72syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑋) = ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡)
7473adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑋𝑌) → (𝐺𝑋) = ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡)
7567, 74oveq12d 6708 . 2 ((𝜑𝑋𝑌) → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) = ((∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡) − ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡))
76 fvexd 6241 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝑋)) → (𝐹𝑡) ∈ V)
7776, 55itgcl 23595 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡 ∈ ℂ)
7861sselda 3636 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡𝐷)
7978, 42syldan 486 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
8079, 64itgcl 23595 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡 ∈ ℂ)
8177, 80pncan2d 10432 . . 3 (𝜑 → ((∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡) − ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
8281adantr 480 . 2 ((𝜑𝑋𝑌) → ((∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡) − ∫(𝐴(,)𝑋)(𝐹𝑡) d𝑡) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
8375, 82eqtrd 2685 1 ((𝜑𝑋𝑌) → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  wss 3607   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973   + caddc 9977  *cxr 10111  cle 10113  cmin 10304  (,)cioo 12213  [,]cicc 12216  volcvol 23278  𝐿1cibl 23431  citg 23432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-rest 16130  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cmp 21238  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434  df-itg2 23435  df-ibl 23436  df-itg 23437  df-0p 23482
This theorem is referenced by:  ftc1a  23845  ftc1lem4  23847  ftc1cnnclem  33613
  Copyright terms: Public domain W3C validator