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Theorem ftc1lem4 23706
 Description: Lemma for ftc1 23709. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
ftc1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc1.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
ftc1.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
ftc1.j 𝐽 = (𝐿t ℝ)
ftc1.k 𝐾 = (𝐿t 𝐷)
ftc1.l 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
ftc1.h 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
ftc1.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
ftc1.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
ftc1.fc ((𝜑𝑦𝐷) → ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝐸))
ftc1.x1 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ftc1.x2 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐶)) < 𝑅)
ftc1.y1 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ftc1.y2 (𝜑 → (abs‘(𝑌𝐶)) < 𝑅)
Assertion
Ref Expression
ftc1lem4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝑦,𝑧,𝐶   𝑡,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝐺,𝑧   𝑡,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝑋,𝑥,𝑧   𝑡,𝐸,𝑦   𝑦,𝐻   𝜑,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝑌,𝑥   𝑡,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐿,𝑦,𝑧   𝑦,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐸(𝑥,𝑧)   𝐺(𝑥,𝑡)   𝐻(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)   𝐿(𝑡)   𝑋(𝑦)   𝑌(𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ftc1lem4
StepHypRef Expression
1 ftc1.a . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ftc1.b . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 iccssre 12197 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
41, 2, 3syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
5 ftc1.x1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
64, 5sseldd 3584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
7 ftc1.y1 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵))
84, 7sseldd 3584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
9 ltle 10070 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋 < 𝑌𝑋𝑌))
106, 8, 9syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 < 𝑌𝑋𝑌))
1110imp 445 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝑋𝑌)
12 ftc1.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
13 ftc1.le . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝐵)
14 ftc1.s . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
15 ftc1.d . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
16 ftc1.i . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
17 ftc1.c . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
18 ftc1.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
19 ftc1.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (𝐿t ℝ)
20 ftc1.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (𝐿t 𝐷)
21 ftc1.l . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
2212, 1, 2, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21ftc1lem3 23705 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
2312, 1, 2, 13, 14, 15, 16, 22, 5, 7ftc1lem1 23702 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋𝑌) → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
2411, 23syldan 487 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
251rexrd 10033 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
26 elicc2 12180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵)))
271, 2, 26syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵)))
285, 27mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵))
2928simp2d 1072 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴𝑋)
30 iooss1 12152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝑋) → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝑌))
3125, 29, 30syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝑌))
322rexrd 10033 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
33 elicc2 12180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑌𝑌𝐵)))
341, 2, 33syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑌𝑌𝐵)))
357, 34mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑌𝑌𝐵))
3635simp3d 1073 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑌𝐵)
37 iooss2 12153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑌𝐵) → (𝐴(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
3832, 36, 37syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
3931, 38sstrd 3593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
4039, 14sstrd 3593 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ 𝐷)
4140sselda 3583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡𝐷)
4222ffvelrnda 6315 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡𝐷) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
4341, 42syldan 487 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
4414, 17sseldd 3584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶𝐷)
4522, 44ffvelrnd 6316 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
4645adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
4743, 46npcand 10340 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) + (𝐹𝐶)) = (𝐹𝑡))
4847itgeq2dv 23454 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) + (𝐹𝐶)) d𝑡 = ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡)
4943, 46subcld 10336 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) ∈ ℂ)
50 ioombl 23240 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol)
52 fvex 6158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹𝑡) ∈ V
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡𝐷) → (𝐹𝑡) ∈ V)
5422feqmptd 6206 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)))
5554, 16eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
5640, 51, 53, 55iblss 23477 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
57 fconstmpt 5123 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋(,)𝑌) × {(𝐹𝐶)}) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹𝐶))
58 mblvol 23205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol → (vol‘(𝑋(,)𝑌)) = (vol*‘(𝑋(,)𝑌)))
5950, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (vol‘(𝑋(,)𝑌)) = (vol*‘(𝑋(,)𝑌))
60 ioossicc 12201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌)
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌))
62 iccmbl 23241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol)
636, 8, 62syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol)
64 mblss 23206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
66 mblvol 23205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋[,]𝑌) ∈ dom vol → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) = (vol*‘(𝑋[,]𝑌)))
6763, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) = (vol*‘(𝑋[,]𝑌)))
68 iccvolcl 23242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ)
696, 8, 68syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (vol‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ)
7067, 69eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (vol*‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ)
71 ovolsscl 23161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌) ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑋[,]𝑌)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ)
7261, 65, 70, 71syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ)
7359, 72syl5eqel 2702 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ)
74 iblconst 23490 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐶) ∈ ℂ) → ((𝑋(,)𝑌) × {(𝐹𝐶)}) ∈ 𝐿1)
7551, 73, 45, 74syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑋(,)𝑌) × {(𝐹𝐶)}) ∈ 𝐿1)
7657, 75syl5eqelr 2703 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐹𝐶)) ∈ 𝐿1)
7743, 56, 46, 76iblsub 23494 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) ∈ 𝐿1)
7849, 77, 46, 76itgadd 23497 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) + (𝐹𝐶)) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝐶) d𝑡))
7948, 78eqtr3d 2657 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝐶) d𝑡))
8079adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝑡) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝐶) d𝑡))
81 itgconst 23491 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐶) ∈ ℂ) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝐶) d𝑡 = ((𝐹𝐶) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
8251, 73, 45, 81syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝐶) d𝑡 = ((𝐹𝐶) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
8382adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝐶) d𝑡 = ((𝐹𝐶) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
846adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ ℝ)
858adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
86 ovolioo 23243 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝑌) → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) = (𝑌𝑋))
8784, 85, 11, 86syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (vol*‘(𝑋(,)𝑌)) = (𝑌𝑋))
8859, 87syl5eq 2667 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (vol‘(𝑋(,)𝑌)) = (𝑌𝑋))
8988oveq2d 6620 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((𝐹𝐶) · (vol‘(𝑋(,)𝑌))) = ((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋)))
9083, 89eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝐶) d𝑡 = ((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋)))
9190oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 + ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐹𝐶) d𝑡) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 + ((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋))))
9224, 80, 913eqtrd 2659 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 + ((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋))))
9392oveq1d 6619 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 + ((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋))) / (𝑌𝑋)))
94 ovex 6632 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) ∈ V
9594a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) ∈ V)
9695, 77itgcl 23456 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 ∈ ℂ)
9796adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 ∈ ℂ)
9845adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
998, 6resubcld 10402 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌𝑋) ∈ ℝ)
10099adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝑌𝑋) ∈ ℝ)
101100recnd 10012 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝑌𝑋) ∈ ℂ)
10298, 101mulcld 10004 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋)) ∈ ℂ)
1036, 8posdifd 10558 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 < 𝑌 ↔ 0 < (𝑌𝑋)))
104103biimpa 501 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 < (𝑌𝑋))
105104gt0ne0d 10536 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝑌𝑋) ≠ 0)
10697, 102, 101, 105divdird 10783 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 + ((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋))) / (𝑌𝑋)) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) + (((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋)) / (𝑌𝑋))))
10798, 101, 105divcan4d 10751 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋)) / (𝑌𝑋)) = (𝐹𝐶))
108107oveq2d 6620 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) + (((𝐹𝐶) · (𝑌𝑋)) / (𝑌𝑋))) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) + (𝐹𝐶)))
10993, 106, 1083eqtrd 2659 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) = ((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) + (𝐹𝐶)))
110109oveq1d 6619 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) − (𝐹𝐶)) = (((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) + (𝐹𝐶)) − (𝐹𝐶)))
11197, 101, 105divcld 10745 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) ∈ ℂ)
112111, 98pncand 10337 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (((∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋)) + (𝐹𝐶)) − (𝐹𝐶)) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋)))
113110, 112eqtrd 2655 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) − (𝐹𝐶)) = (∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋)))
114113fveq2d 6152 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) − (𝐹𝐶))) = (abs‘(∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋))))
11597, 101, 105absdivd 14128 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘(∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡 / (𝑌𝑋))) = ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) / (abs‘(𝑌𝑋))))
116 0re 9984 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
117 ltle 10070 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑌𝑋) ∈ ℝ) → (0 < (𝑌𝑋) → 0 ≤ (𝑌𝑋)))
118116, 100, 117sylancr 694 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (0 < (𝑌𝑋) → 0 ≤ (𝑌𝑋)))
119104, 118mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 ≤ (𝑌𝑋))
120100, 119absidd 14095 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘(𝑌𝑋)) = (𝑌𝑋))
121120oveq2d 6620 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) / (abs‘(𝑌𝑋))) = ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) / (𝑌𝑋)))
122114, 115, 1213eqtrd 2659 . 2 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) − (𝐹𝐶))) = ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) / (𝑌𝑋)))
12396abscld 14109 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) ∈ ℝ)
124123adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) ∈ ℝ)
12549abscld 14109 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) ∈ ℝ)
12695, 77iblabs 23501 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) ∈ 𝐿1)
127125, 126itgrecl 23470 . . . . 5 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡 ∈ ℝ)
128127adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡 ∈ ℝ)
129 ftc1.e . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
130129rpred 11816 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
13199, 130remulcld 10014 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑌𝑋) · 𝐸) ∈ ℝ)
132131adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((𝑌𝑋) · 𝐸) ∈ ℝ)
13349, 77itgabs 23507 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) ≤ ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡)
134133adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) ≤ ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡)
135104, 88breqtrrd 4641 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 < (vol‘(𝑋(,)𝑌)))
136130adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐸 ∈ ℝ)
137 fconstmpt 5123 . . . . . . . . . 10 ((𝑋(,)𝑌) × {𝐸}) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸)
138130recnd 10012 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
139 iblconst 23490 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → ((𝑋(,)𝑌) × {𝐸}) ∈ 𝐿1)
14051, 73, 138, 139syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋(,)𝑌) × {𝐸}) ∈ 𝐿1)
141137, 140syl5eqelr 2703 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝐸) ∈ 𝐿1)
142136, 141, 125, 126iblsub 23494 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))))) ∈ 𝐿1)
143142adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))))) ∈ 𝐿1)
144 ftc1.fc . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐷) → ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝐸))
145144ralrimiva 2960 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝐸))
146145adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝐸))
14715, 44sseldd 3584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
148 ftc1.r . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
149148rpred 11816 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
150147, 149resubcld 10402 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶𝑅) ∈ ℝ)
151150adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐶𝑅) ∈ ℝ)
1526adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑋 ∈ ℝ)
15340, 15sstrd 3593 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ)
154153sselda 3583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 ∈ ℝ)
155 ftc1.x2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐶)) < 𝑅)
1566, 147, 149absdifltd 14106 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘(𝑋𝐶)) < 𝑅 ↔ ((𝐶𝑅) < 𝑋𝑋 < (𝐶 + 𝑅))))
157155, 156mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐶𝑅) < 𝑋𝑋 < (𝐶 + 𝑅)))
158157simpld 475 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶𝑅) < 𝑋)
159158adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐶𝑅) < 𝑋)
160 eliooord 12175 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) → (𝑋 < 𝑡𝑡 < 𝑌))
161160adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝑋 < 𝑡𝑡 < 𝑌))
162161simpld 475 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑋 < 𝑡)
163151, 152, 154, 159, 162lttrd 10142 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐶𝑅) < 𝑡)
1648adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑌 ∈ ℝ)
165147, 149readdcld 10013 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ)
166165adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐶 + 𝑅) ∈ ℝ)
167161simprd 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 < 𝑌)
168 ftc1.y2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs‘(𝑌𝐶)) < 𝑅)
1698, 147, 149absdifltd 14106 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((abs‘(𝑌𝐶)) < 𝑅 ↔ ((𝐶𝑅) < 𝑌𝑌 < (𝐶 + 𝑅))))
170168, 169mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐶𝑅) < 𝑌𝑌 < (𝐶 + 𝑅)))
171170simprd 479 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 < (𝐶 + 𝑅))
172171adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑌 < (𝐶 + 𝑅))
173154, 164, 166, 167, 172lttrd 10142 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑡 < (𝐶 + 𝑅))
174147adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝐶 ∈ ℝ)
175149adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑅 ∈ ℝ)
176154, 174, 175absdifltd 14106 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((abs‘(𝑡𝐶)) < 𝑅 ↔ ((𝐶𝑅) < 𝑡𝑡 < (𝐶 + 𝑅))))
177163, 173, 176mpbir2and 956 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘(𝑡𝐶)) < 𝑅)
178 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑡 → (𝑦𝐶) = (𝑡𝐶))
179178fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑡 → (abs‘(𝑦𝐶)) = (abs‘(𝑡𝐶)))
180179breq1d 4623 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑡 → ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 ↔ (abs‘(𝑡𝐶)) < 𝑅))
181 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑡 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑡))
182181oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑡 → ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) = ((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))
183182fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑡 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) = (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))))
184183breq1d 4623 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑡 → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝐸 ↔ (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) < 𝐸))
185180, 184imbi12d 334 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑡 → (((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝐸) ↔ ((abs‘(𝑡𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)))
186185rspcv 3291 . . . . . . . . . 10 (𝑡𝐷 → (∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝐸) → ((abs‘(𝑡𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)))
18741, 146, 177, 186syl3c 66 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
188 difrp 11812 . . . . . . . . . 10 (((abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) < 𝐸 ↔ (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) ∈ ℝ+))
189125, 136, 188syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) < 𝐸 ↔ (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) ∈ ℝ+))
190187, 189mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) ∈ ℝ+)
191190adantlr 750 . . . . . . 7 (((𝜑𝑋 < 𝑌) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → (𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) ∈ ℝ+)
192135, 143, 191itggt0 23514 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 < ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) d𝑡)
193136, 141, 125, 126itgsub 23498 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡))
194193adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) d𝑡 = (∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡))
195 itgconst 23491 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋(,)𝑌) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝑋(,)𝑌)) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℂ) → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
19651, 73, 138, 195syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
197196adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))))
19888oveq2d 6620 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝐸 · (vol‘(𝑋(,)𝑌))) = (𝐸 · (𝑌𝑋)))
19999recnd 10012 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌𝑋) ∈ ℂ)
200138, 199mulcomd 10005 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 · (𝑌𝑋)) = ((𝑌𝑋) · 𝐸))
201200adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (𝐸 · (𝑌𝑋)) = ((𝑌𝑋) · 𝐸))
202197, 198, 2013eqtrd 2659 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 = ((𝑌𝑋) · 𝐸))
203202oveq1d 6619 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (∫(𝑋(,)𝑌)𝐸 d𝑡 − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡) = (((𝑌𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡))
204194, 203eqtrd 2655 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(𝐸 − (abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)))) d𝑡 = (((𝑌𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡))
205192, 204breqtrd 4639 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 0 < (((𝑌𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡))
206127, 131posdifd 10558 . . . . . 6 (𝜑 → (∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡 < ((𝑌𝑋) · 𝐸) ↔ 0 < (((𝑌𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡)))
207206biimpar 502 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 0 < (((𝑌𝑋) · 𝐸) − ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡)) → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡 < ((𝑌𝑋) · 𝐸))
208205, 207syldan 487 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ∫(𝑋(,)𝑌)(abs‘((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶))) d𝑡 < ((𝑌𝑋) · 𝐸))
209124, 128, 132, 134, 208lelttrd 10139 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) < ((𝑌𝑋) · 𝐸))
21097abscld 14109 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) ∈ ℝ)
211130adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → 𝐸 ∈ ℝ)
212 ltdivmul 10842 . . . 4 (((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ ∧ ((𝑌𝑋) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑌𝑋))) → (((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) / (𝑌𝑋)) < 𝐸 ↔ (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) < ((𝑌𝑋) · 𝐸)))
213210, 211, 100, 104, 212syl112anc 1327 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) / (𝑌𝑋)) < 𝐸 ↔ (abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) < ((𝑌𝑋) · 𝐸)))
214209, 213mpbird 247 . 2 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → ((abs‘∫(𝑋(,)𝑌)((𝐹𝑡) − (𝐹𝐶)) d𝑡) / (𝑌𝑋)) < 𝐸)
215122, 214eqbrtrd 4635 1 ((𝜑𝑋 < 𝑌) → (abs‘((((𝐺𝑌) − (𝐺𝑋)) / (𝑌𝑋)) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  Vcvv 3186   ∖ cdif 3552   ⊆ wss 3555  {csn 4148   class class class wbr 4613   ↦ cmpt 4673   × cxp 5072  dom cdm 5074  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℂcc 9878  ℝcr 9879  0cc0 9880   + caddc 9883   · cmul 9885  ℝ*cxr 10017   < clt 10018   ≤ cle 10019   − cmin 10210   / cdiv 10628  ℝ+crp 11776  (,)cioo 12117  [,]cicc 12120  abscabs 13908   ↾t crest 16002  TopOpenctopn 16003  ℂfldccnfld 19665   CnP ccnp 20939  vol*covol 23138  volcvol 23139  𝐿1cibl 23292  ∫citg 23293 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cc 9201  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-disj 4584  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-ofr 6851  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-omul 7510  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-acn 8712  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-cmp 21100  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-ovol 23140  df-vol 23141  df-mbf 23294  df-itg1 23295  df-itg2 23296  df-ibl 23297  df-itg 23298  df-0p 23343 This theorem is referenced by:  ftc1lem5  23707
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