MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1lem5 23720
Description: Lemma for ftc1 23722. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
ftc1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc1.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
ftc1.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
ftc1.j 𝐽 = (𝐿t ℝ)
ftc1.k 𝐾 = (𝐿t 𝐷)
ftc1.l 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
ftc1.h 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
ftc1.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
ftc1.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
ftc1.fc ((𝜑𝑦𝐷) → ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝐸))
ftc1.x1 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
ftc1.x2 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐶)) < 𝑅)
Assertion
Ref Expression
ftc1lem5 ((𝜑𝑋𝐶) → (abs‘((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝑦,𝑧,𝐶   𝑡,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧   𝑦,𝐺,𝑧   𝑡,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝑋,𝑥,𝑧   𝑡,𝐸,𝑦   𝑦,𝐻   𝜑,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝑡,𝐹,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐿,𝑦,𝑧   𝑦,𝑅
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐸(𝑥,𝑧)   𝐺(𝑥,𝑡)   𝐻(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑡)   𝐿(𝑡)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem ftc1lem5
StepHypRef Expression
1 ftc1.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ftc1.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 iccssre 12204 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
41, 2, 3syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
5 ftc1.x1 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
64, 5sseldd 3588 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
7 ioossicc 12208 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
8 ftc1.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
97, 8sseldi 3585 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
104, 9sseldd 3588 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
116, 10lttri2d 10127 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝐶 ↔ (𝑋 < 𝐶𝐶 < 𝑋)))
1211biimpa 501 . 2 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑋 < 𝐶𝐶 < 𝑋))
135adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
146adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → 𝑋 ∈ ℝ)
15 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → 𝑋 < 𝐶)
1614, 15ltned 10124 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → 𝑋𝐶)
17 eldifsn 4292 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↔ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑋𝐶))
1813, 16, 17sylanbrc 697 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → 𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}))
19 fveq2 6153 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑋 → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑋))
2019oveq1d 6625 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑋 → ((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) = ((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)))
21 oveq1 6617 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑋 → (𝑧𝐶) = (𝑋𝐶))
2220, 21oveq12d 6628 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑋 → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) = (((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)))
23 ftc1.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
24 ovex 6638 . . . . . . . . 9 (((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)) ∈ V
2522, 23, 24fvmpt 6244 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) → (𝐻𝑋) = (((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)))
2618, 25syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (𝐻𝑋) = (((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)))
27 ftc1.g . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
28 ftc1.le . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝐵)
29 ftc1.s . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
30 ftc1.d . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
31 ftc1.i . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
32 ftc1.f . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
33 ftc1.j . . . . . . . . . . . . 13 𝐽 = (𝐿t ℝ)
34 ftc1.k . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 = (𝐿t 𝐷)
35 ftc1.l . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
3627, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 8, 32, 33, 34, 35ftc1lem3 23718 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
3727, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 36ftc1lem2 23716 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
3837, 5ffvelrnd 6321 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺𝑋) ∈ ℂ)
3937, 9ffvelrnd 6321 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
4038, 39subcld 10343 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
4140adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → ((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) ∈ ℂ)
426recnd 10019 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
4310recnd 10019 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4442, 43subcld 10343 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋𝐶) ∈ ℂ)
4544adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (𝑋𝐶) ∈ ℂ)
4642, 43subeq0ad 10353 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑋𝐶) = 0 ↔ 𝑋 = 𝐶))
4746necon3bid 2834 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋𝐶) ≠ 0 ↔ 𝑋𝐶))
4847biimpar 502 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑋𝐶) ≠ 0)
4916, 48syldan 487 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (𝑋𝐶) ≠ 0)
5041, 45, 49div2negd 10767 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (-((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / -(𝑋𝐶)) = (((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)))
5138, 39negsubdi2d 10359 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) = ((𝐺𝐶) − (𝐺𝑋)))
5242, 43negsubdi2d 10359 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -(𝑋𝐶) = (𝐶𝑋))
5351, 52oveq12d 6628 . . . . . . . 8 (𝜑 → (-((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / -(𝑋𝐶)) = (((𝐺𝐶) − (𝐺𝑋)) / (𝐶𝑋)))
5453adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (-((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / -(𝑋𝐶)) = (((𝐺𝐶) − (𝐺𝑋)) / (𝐶𝑋)))
5526, 50, 543eqtr2d 2661 . . . . . 6 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (𝐻𝑋) = (((𝐺𝐶) − (𝐺𝑋)) / (𝐶𝑋)))
5655oveq1d 6625 . . . . 5 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → ((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶)) = ((((𝐺𝐶) − (𝐺𝑋)) / (𝐶𝑋)) − (𝐹𝐶)))
5756fveq2d 6157 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (abs‘((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶))) = (abs‘((((𝐺𝐶) − (𝐺𝑋)) / (𝐶𝑋)) − (𝐹𝐶))))
58 ftc1.e . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
59 ftc1.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
60 ftc1.fc . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐷) → ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑅 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝐸))
61 ftc1.x2 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝑋𝐶)) < 𝑅)
6243subidd 10331 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶𝐶) = 0)
6362abs00bd 13972 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐶𝐶)) = 0)
6459rpgt0d 11826 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝑅)
6563, 64eqbrtrd 4640 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝐶𝐶)) < 𝑅)
6627, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 8, 32, 33, 34, 35, 23, 58, 59, 60, 5, 61, 9, 65ftc1lem4 23719 . . . 4 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (abs‘((((𝐺𝐶) − (𝐺𝑋)) / (𝐶𝑋)) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
6757, 66eqbrtrd 4640 . . 3 ((𝜑𝑋 < 𝐶) → (abs‘((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
685adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → 𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6910adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → 𝐶 ∈ ℝ)
70 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → 𝐶 < 𝑋)
7169, 70gtned 10123 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → 𝑋𝐶)
7268, 71, 17sylanbrc 697 . . . . . . 7 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → 𝑋 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}))
7372, 25syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → (𝐻𝑋) = (((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)))
7473oveq1d 6625 . . . . 5 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → ((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶)) = ((((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)) − (𝐹𝐶)))
7574fveq2d 6157 . . . 4 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → (abs‘((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶))) = (abs‘((((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)) − (𝐹𝐶))))
7627, 1, 2, 28, 29, 30, 31, 8, 32, 33, 34, 35, 23, 58, 59, 60, 9, 65, 5, 61ftc1lem4 23719 . . . 4 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → (abs‘((((𝐺𝑋) − (𝐺𝐶)) / (𝑋𝐶)) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
7775, 76eqbrtrd 4640 . . 3 ((𝜑𝐶 < 𝑋) → (abs‘((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
7867, 77jaodan 825 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋 < 𝐶𝐶 < 𝑋)) → (abs‘((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
7912, 78syldan 487 1 ((𝜑𝑋𝐶) → (abs‘((𝐻𝑋) − (𝐹𝐶))) < 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cdif 3556  wss 3559  {csn 4153   class class class wbr 4618  cmpt 4678  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9885  cr 9886  0cc0 9887   < clt 10025  cle 10026  cmin 10217  -cneg 10218   / cdiv 10635  +crp 11783  (,)cioo 12124  [,]cicc 12127  abscabs 13915  t crest 16009  TopOpenctopn 16010  fldccnfld 19674   CnP ccnp 20948  𝐿1cibl 23305  citg 23306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cc 9208  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965  ax-addf 9966  ax-mulf 9967
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-disj 4589  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-ofr 6858  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-omul 7517  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7860  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-fsupp 8227  df-fi 8268  df-sup 8299  df-inf 8300  df-oi 8366  df-card 8716  df-acn 8719  df-cda 8941  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-q 11740  df-rp 11784  df-xneg 11897  df-xadd 11898  df-xmul 11899  df-ioo 12128  df-ioc 12129  df-ico 12130  df-icc 12131  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-fl 12540  df-mod 12616  df-seq 12749  df-exp 12808  df-hash 13065  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-clim 14160  df-rlim 14161  df-sum 14358  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-starv 15884  df-sca 15885  df-vsca 15886  df-ip 15887  df-tset 15888  df-ple 15889  df-ds 15892  df-unif 15893  df-hom 15894  df-cco 15895  df-rest 16011  df-topn 16012  df-0g 16030  df-gsum 16031  df-topgen 16032  df-pt 16033  df-prds 16036  df-xrs 16090  df-qtop 16095  df-imas 16096  df-xps 16098  df-mre 16174  df-mrc 16175  df-acs 16177  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-submnd 17264  df-mulg 17469  df-cntz 17678  df-cmn 18123  df-psmet 19666  df-xmet 19667  df-met 19668  df-bl 19669  df-mopn 19670  df-cnfld 19675  df-top 20627  df-topon 20644  df-topsp 20657  df-bases 20670  df-cn 20950  df-cnp 20951  df-cmp 21109  df-tx 21284  df-hmeo 21477  df-xms 22044  df-ms 22045  df-tms 22046  df-cncf 22600  df-ovol 23152  df-vol 23153  df-mbf 23307  df-itg1 23308  df-itg2 23309  df-ibl 23310  df-itg 23311  df-0p 23356
This theorem is referenced by:  ftc1lem6  23721
  Copyright terms: Public domain W3C validator