MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1lem6 23708
Description: Lemma for ftc1 23709. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
ftc1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc1.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
ftc1.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
ftc1.j 𝐽 = (𝐿t ℝ)
ftc1.k 𝐾 = (𝐿t 𝐷)
ftc1.l 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
ftc1.h 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
Assertion
Ref Expression
ftc1lem6 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ (𝐻 lim 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝑧,𝐶   𝑡,𝐷,𝑥,𝑧   𝑧,𝐺   𝑡,𝐴,𝑥,𝑧   𝑡,𝐵,𝑥,𝑧   𝜑,𝑡,𝑥,𝑧   𝑡,𝐹,𝑥,𝑧   𝑥,𝐿,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑡)   𝐻(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐽(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐾(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐿(𝑡)

Proof of Theorem ftc1lem6
Dummy variables 𝑠 𝑢 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftc1.g . . . 4 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
2 ftc1.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ftc1.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 ftc1.le . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
5 ftc1.s . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
6 ftc1.d . . . 4 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
7 ftc1.i . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
8 ftc1.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
9 ftc1.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
10 ftc1.j . . . 4 𝐽 = (𝐿t ℝ)
11 ftc1.k . . . 4 𝐾 = (𝐿t 𝐷)
12 ftc1.l . . . 4 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12ftc1lem3 23705 . . 3 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
145, 8sseldd 3584 . . 3 (𝜑𝐶𝐷)
1513, 14ffvelrnd 6316 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
16 cnxmet 22486 . . . . . 6 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
17 ax-resscn 9937 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
186, 17syl6ss 3595 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
1918adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → 𝐷 ⊆ ℂ)
20 xmetres2 22076 . . . . . 6 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷))
2116, 19, 20sylancr 694 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷))
2216a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
23 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))
2412cnfldtopn 22495 . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
25 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)))
2623, 24, 25metrest 22239 . . . . . . . . . . 11 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐿t 𝐷) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
2716, 18, 26sylancr 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿t 𝐷) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
2811, 27syl5eq 2667 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
2928oveq1d 6619 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 CnP 𝐿) = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) CnP 𝐿))
3029fveq1d 6150 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶) = (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) CnP 𝐿)‘𝐶))
319, 30eleqtrd 2700 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) CnP 𝐿)‘𝐶))
3231adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) CnP 𝐿)‘𝐶))
33 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+)
3425, 24metcnpi2 22260 . . . . 5 (((((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)) ∧ (𝐹 ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) CnP 𝐿)‘𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑦𝐷 ((𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) < 𝑣 → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) < 𝑤))
3521, 22, 32, 33, 34syl22anc 1324 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑦𝐷 ((𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) < 𝑣 → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) < 𝑤))
36 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦𝐷)
3714ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → 𝐶𝐷)
3836, 37ovresd 6754 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → (𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) = (𝑦(abs ∘ − )𝐶))
3918adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) → 𝐷 ⊆ ℂ)
4039sselda 3583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦 ∈ ℂ)
41 iccssre 12197 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
422, 3, 41syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4342, 17syl6ss 3595 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
44 ioossicc 12201 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
4544, 8sseldi 3581 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4643, 45sseldd 3584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4746ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
48 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . 13 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
4948cnmetdval 22484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑦(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝑦𝐶)))
5040, 47, 49syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → (𝑦(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝑦𝐶)))
5138, 50eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → (𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) = (abs‘(𝑦𝐶)))
5251breq1d 4623 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → ((𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) < 𝑣 ↔ (abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣))
5313adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
5453ffvelrnda 6315 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
5515ad2antrr 761 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
5648cnmetdval 22484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐶) ∈ ℂ) → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) = (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))))
5754, 55, 56syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) = (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))))
5857breq1d 4623 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → (((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) < 𝑤 ↔ (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
5952, 58imbi12d 334 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → (((𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) < 𝑣 → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) < 𝑤) ↔ ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)))
6059ralbidva 2979 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) → (∀𝑦𝐷 ((𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) < 𝑣 → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) < 𝑤) ↔ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)))
61 simprll 801 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}))
62 eldifsni 4289 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) → 𝑠𝐶)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝑠𝐶)
642ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝐴 ∈ ℝ)
653ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝐵 ∈ ℝ)
664ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝐴𝐵)
675ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
686ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝐷 ⊆ ℝ)
697ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝐹 ∈ 𝐿1)
708ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
719ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
72 ftc1.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
73 simplrl 799 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝑤 ∈ ℝ+)
74 simplrr 800 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝑣 ∈ ℝ+)
75 simprlr 802 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
76 oveq1 6611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑢 → (𝑦𝐶) = (𝑢𝐶))
7776fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑢 → (abs‘(𝑦𝐶)) = (abs‘(𝑢𝐶)))
7877breq1d 4623 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑢 → ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 ↔ (abs‘(𝑢𝐶)) < 𝑣))
79 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑢 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑢))
8079oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑢 → ((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶)) = ((𝐹𝑢) − (𝐹𝐶)))
8180fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑢 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) = (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝐶))))
8281breq1d 4623 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑢 → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤 ↔ (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
8378, 82imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑢 → (((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤) ↔ ((abs‘(𝑢𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)))
8483rspccva 3294 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤) ∧ 𝑢𝐷) → ((abs‘(𝑢𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
8575, 84sylan 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) ∧ 𝑢𝐷) → ((abs‘(𝑢𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
8661eldifad 3567 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵))
87 simprr 795 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)
881, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 10, 11, 12, 72, 73, 74, 85, 86, 87ftc1lem5 23707 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) ∧ 𝑠𝐶) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)
8963, 88mpdan 701 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)
9089expr 642 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))) → ((abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
9190adantld 483 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))) → ((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
9291expr 642 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})) → (∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤) → ((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)))
9392ralrimdva 2963 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) → (∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤) → ∀𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)))
9460, 93sylbid 230 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) → (∀𝑦𝐷 ((𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) < 𝑣 → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) < 𝑤) → ∀𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)))
9594anassrs 679 . . . . 5 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (∀𝑦𝐷 ((𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) < 𝑣 → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) < 𝑤) → ∀𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)))
9695reximdva 3011 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑣 ∈ ℝ+𝑦𝐷 ((𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) < 𝑣 → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) < 𝑤) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)))
9735, 96mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
9897ralrimiva 2960 . 2 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
991, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13ftc1lem2 23703 . . . . 5 (𝜑𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
10099, 43, 45dvlem 23566 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) ∈ ℂ)
101100, 72fmptd 6340 . . 3 (𝜑𝐻:((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})⟶ℂ)
10243ssdifssd 3726 . . 3 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ⊆ ℂ)
103101, 102, 46ellimc3 23549 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐶) ∈ (𝐻 lim 𝐶) ↔ ((𝐹𝐶) ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))))
10415, 98, 103mpbir2and 956 1 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ (𝐻 lim 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  cdif 3552  wss 3555  {csn 4148   class class class wbr 4613  cmpt 4673   × cxp 5072  cres 5076  ccom 5078  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210   / cdiv 10628  +crp 11776  (,)cioo 12117  [,]cicc 12120  abscabs 13908  t crest 16002  TopOpenctopn 16003  ∞Metcxmt 19650  MetOpencmopn 19655  fldccnfld 19665   CnP ccnp 20939  𝐿1cibl 23292  citg 23293   lim climc 23532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cc 9201  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-disj 4584  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-ofr 6851  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-omul 7510  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-acn 8712  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-cmp 21100  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-ovol 23140  df-vol 23141  df-mbf 23294  df-itg1 23295  df-itg2 23296  df-ibl 23297  df-itg 23298  df-0p 23343  df-limc 23536
This theorem is referenced by:  ftc1  23709
  Copyright terms: Public domain W3C validator