Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc2ditg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc2ditg 23720
 Description: Directed integral analogue of ftc2 23718. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc2ditg.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
ftc2ditg.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
ftc2ditg.a (𝜑𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ftc2ditg.b (𝜑𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ftc2ditg.c (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
ftc2ditg.i (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ 𝐿1)
ftc2ditg.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
Assertion
Ref Expression
ftc2ditg (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵]((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝑡,𝐹   𝜑,𝑡   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌

Proof of Theorem ftc2ditg
StepHypRef Expression
1 ftc2ditg.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
2 ftc2ditg.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
3 iccssre 12200 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
41, 2, 3syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
5 ftc2ditg.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
64, 5sseldd 3585 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
7 ftc2ditg.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
84, 7sseldd 3585 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
9 ftc2ditg.c . . 3 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
10 ftc2ditg.i . . 3 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ 𝐿1)
11 ftc2ditg.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
121, 2, 5, 7, 9, 10, 11ftc2ditglem 23719 . 2 ((𝜑𝐴𝐵) → ⨜[𝐴𝐵]((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
13 fvex 6160 . . . . . 6 ((ℝ D 𝐹)‘𝑡) ∈ V
1413a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑡) ∈ V)
15 cncff 22609 . . . . . . . 8 ((ℝ D 𝐹) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) → (ℝ D 𝐹):(𝑋(,)𝑌)⟶ℂ)
169, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝑋(,)𝑌)⟶ℂ)
1716feqmptd 6208 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
1817, 10eqeltrrd 2699 . . . . 5 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
191, 2, 7, 5, 14, 18ditgswap 23536 . . . 4 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵]((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = -⨜[𝐵𝐴]((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)
2019adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵𝐴) → ⨜[𝐴𝐵]((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = -⨜[𝐵𝐴]((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)
211, 2, 7, 5, 9, 10, 11ftc2ditglem 23719 . . . 4 ((𝜑𝐵𝐴) → ⨜[𝐵𝐴]((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹𝐴) − (𝐹𝐵)))
2221negeqd 10222 . . 3 ((𝜑𝐵𝐴) → -⨜[𝐵𝐴]((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = -((𝐹𝐴) − (𝐹𝐵)))
23 cncff 22609 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
2411, 23syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹:(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
2524, 5ffvelrnd 6318 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℂ)
2624, 7ffvelrnd 6318 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℂ)
2725, 26negsubdi2d 10355 . . . 4 (𝜑 → -((𝐹𝐴) − (𝐹𝐵)) = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
2827adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐵𝐴) → -((𝐹𝐴) − (𝐹𝐵)) = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
2920, 22, 283eqtrd 2659 . 2 ((𝜑𝐵𝐴) → ⨜[𝐴𝐵]((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
306, 8, 12, 29lecasei 10090 1 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵]((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  Vcvv 3186   ⊆ wss 3556   class class class wbr 4615   ↦ cmpt 4675  ⟶wf 5845  ‘cfv 5849  (class class class)co 6607  ℂcc 9881  ℝcr 9882   ≤ cle 10022   − cmin 10213  -cneg 10214  (,)cioo 12120  [,]cicc 12123  –cn→ccncf 22592  𝐿1cibl 23299  ⨜cdit 23523   D cdv 23540 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-cc 9204  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961  ax-addf 9962  ax-mulf 9963 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-iin 4490  df-disj 4586  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-of 6853  df-ofr 6854  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7244  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-2o 7509  df-oadd 7512  df-omul 7513  df-er 7690  df-map 7807  df-pm 7808  df-ixp 7856  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-fsupp 8223  df-fi 8264  df-sup 8295  df-inf 8296  df-oi 8362  df-card 8712  df-acn 8715  df-cda 8937  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-5 11029  df-6 11030  df-7 11031  df-8 11032  df-9 11033  df-n0 11240  df-z 11325  df-dec 11441  df-uz 11635  df-q 11736  df-rp 11780  df-xneg 11893  df-xadd 11894  df-xmul 11895  df-ioo 12124  df-ioc 12125  df-ico 12126  df-icc 12127  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-fl 12536  df-mod 12612  df-seq 12745  df-exp 12804  df-hash 13061  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-clim 14156  df-rlim 14157  df-sum 14354  df-struct 15786  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ress 15791  df-plusg 15878  df-mulr 15879  df-starv 15880  df-sca 15881  df-vsca 15882  df-ip 15883  df-tset 15884  df-ple 15885  df-ds 15888  df-unif 15889  df-hom 15890  df-cco 15891  df-rest 16007  df-topn 16008  df-0g 16026  df-gsum 16027  df-topgen 16028  df-pt 16029  df-prds 16032  df-xrs 16086  df-qtop 16091  df-imas 16092  df-xps 16094  df-mre 16170  df-mrc 16171  df-acs 16173  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-submnd 17260  df-mulg 17465  df-cntz 17674  df-cmn 18119  df-psmet 19660  df-xmet 19661  df-met 19662  df-bl 19663  df-mopn 19664  df-fbas 19665  df-fg 19666  df-cnfld 19669  df-top 20621  df-topon 20638  df-topsp 20651  df-bases 20664  df-cld 20736  df-ntr 20737  df-cls 20738  df-nei 20815  df-lp 20853  df-perf 20854  df-cn 20944  df-cnp 20945  df-haus 21032  df-cmp 21103  df-tx 21278  df-hmeo 21471  df-fil 21563  df-fm 21655  df-flim 21656  df-flf 21657  df-xms 22038  df-ms 22039  df-tms 22040  df-cncf 22594  df-ovol 23146  df-vol 23147  df-mbf 23301  df-itg1 23302  df-itg2 23303  df-ibl 23304  df-itg 23305  df-0p 23350  df-ditg 23524  df-limc 23543  df-dv 23544 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator