MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc2ditglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc2ditglem 23746
Description: Lemma for ftc2ditg 23747. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc2ditg.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
ftc2ditg.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
ftc2ditg.a (𝜑𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ftc2ditg.b (𝜑𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
ftc2ditg.c (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
ftc2ditg.i (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ 𝐿1)
ftc2ditg.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
Assertion
Ref Expression
ftc2ditglem ((𝜑𝐴𝐵) → ⨜[𝐴𝐵]((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝑡,𝐹   𝜑,𝑡   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌

Proof of Theorem ftc2ditglem
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
21ditgpos 23560 . 2 ((𝜑𝐴𝐵) → ⨜[𝐴𝐵]((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)
3 ftc2ditg.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
4 ftc2ditg.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
5 iccssre 12213 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
63, 4, 5syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
7 ftc2ditg.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌))
86, 7sseldd 3589 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
98adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
10 ftc2ditg.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌))
116, 10sseldd 3589 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
1211adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
13 ax-resscn 9953 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
1413a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐵) → ℝ ⊆ ℂ)
15 ftc2ditg.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ))
16 cncff 22636 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
1817adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐹:(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ)
196adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
20 iccssre 12213 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
218, 11, 20syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
2221adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
23 eqid 2621 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2423tgioo2 22546 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
2523, 24dvres 23615 . . . . . . 7 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝑋[,]𝑌)⟶ℂ) ∧ ((𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
2614, 18, 19, 22, 25syl22anc 1324 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐵) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
27 iccntr 22564 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
288, 11, 27syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
2928adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐵) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
3029reseq2d 5366 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐵) → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
3126, 30eqtrd 2655 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
323rexrd 10049 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
33 elicc2 12196 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌)))
343, 4, 33syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌)))
357, 34mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐴𝐴𝑌))
3635simp2d 1072 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐴)
37 iooss1 12168 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑋𝐴) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝐵))
3832, 36, 37syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝐵))
394rexrd 10049 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ ℝ*)
40 elicc2 12196 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌)))
413, 4, 40syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌)))
4210, 41mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝐵𝐵𝑌))
4342simp3d 1073 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝑌)
44 iooss2 12169 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ ℝ*𝐵𝑌) → (𝑋(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
4539, 43, 44syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
4638, 45sstrd 3598 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
4746adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌))
48 ftc2ditg.c . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
4948adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐵) → (ℝ D 𝐹) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ))
50 rescncf 22640 . . . . . 6 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝑋(,)𝑌) → ((ℝ D 𝐹) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)))
5147, 49, 50sylc 65 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
5231, 51eqeltrd 2698 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
53 cncff 22636 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ D 𝐹) ∈ ((𝑋(,)𝑌)–cn→ℂ) → (ℝ D 𝐹):(𝑋(,)𝑌)⟶ℂ)
5448, 53syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝑋(,)𝑌)⟶ℂ)
5554feqmptd 6216 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
5655adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝐵) → (ℝ D 𝐹) = (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
5756reseq1d 5365 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐵) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
5847resmptd 5421 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐵) → ((𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
5957, 58eqtrd 2655 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐵) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
6031, 59eqtrd 2655 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)))
61 ioombl 23273 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
6261a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
63 fvexd 6170 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑡) ∈ V)
64 ftc2ditg.i . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ 𝐿1)
6564adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐵) → (ℝ D 𝐹) ∈ 𝐿1)
6656, 65eqeltrrd 2699 . . . . . 6 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑡 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
6747, 62, 63, 66iblss 23511 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
6860, 67eqeltrd 2698 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))) ∈ 𝐿1)
69 iccss2 12202 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝐵 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝑋[,]𝑌))
707, 10, 69syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝑋[,]𝑌))
71 rescncf 22640 . . . . . 6 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝑋[,]𝑌) → (𝐹 ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℂ) → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
7270, 15, 71sylc 65 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
7372adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
749, 12, 1, 52, 68, 73ftc2 23745 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑡) d𝑡 = (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)))
7531fveq1d 6160 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑡) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑡))
76 fvres 6174 . . . . 5 (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
7775, 76sylan9eq 2675 . . . 4 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
7877itgeq2dv 23488 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)
799rexrd 10049 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8012rexrd 10049 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
81 ubicc2 12247 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
82 lbicc2 12246 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
83 fvres 6174 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) = (𝐹𝐵))
84 fvres 6174 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴) = (𝐹𝐴))
8583, 84oveqan12d 6634 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
8681, 82, 85syl2anc 692 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
8779, 80, 1, 86syl3anc 1323 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
8874, 78, 873eqtr3d 2663 . 2 ((𝜑𝐴𝐵) → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
892, 88eqtrd 2655 1 ((𝜑𝐴𝐵) → ⨜[𝐴𝐵]((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3190  wss 3560   class class class wbr 4623  cmpt 4683  dom cdm 5084  ran crn 5085  cres 5086  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894  cr 9895  *cxr 10033  cle 10035  cmin 10226  (,)cioo 12133  [,]cicc 12136  TopOpenctopn 16022  topGenctg 16038  fldccnfld 19686  intcnt 20761  cnccncf 22619  volcvol 23172  𝐿1cibl 23326  citg 23327  cdit 23550   D cdv 23567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cc 9217  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-disj 4594  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-ofr 6863  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-omul 7525  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-acn 8728  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-ioc 12138  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-mod 12625  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-clim 14169  df-rlim 14170  df-sum 14367  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-rest 16023  df-topn 16024  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-topgen 16044  df-pt 16045  df-prds 16048  df-xrs 16102  df-qtop 16107  df-imas 16108  df-xps 16110  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-mulg 17481  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-fbas 19683  df-fg 19684  df-cnfld 19687  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-cld 20763  df-ntr 20764  df-cls 20765  df-nei 20842  df-lp 20880  df-perf 20881  df-cn 20971  df-cnp 20972  df-haus 21059  df-cmp 21130  df-tx 21305  df-hmeo 21498  df-fil 21590  df-fm 21682  df-flim 21683  df-flf 21684  df-xms 22065  df-ms 22066  df-tms 22067  df-cncf 22621  df-ovol 23173  df-vol 23174  df-mbf 23328  df-itg1 23329  df-itg2 23330  df-ibl 23331  df-itg 23332  df-0p 23377  df-ditg 23551  df-limc 23570  df-dv 23571
This theorem is referenced by:  ftc2ditg  23747
  Copyright terms: Public domain W3C validator