Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ftc2re Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc2re 30804
Description: The Fundamental Theorem of Calculus, part two, for functions continuous on 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc2re.e 𝐸 = (𝐶(,)𝐷)
ftc2re.a (𝜑𝐴𝐸)
ftc2re.b (𝜑𝐵𝐸)
ftc2re.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc2re.f (𝜑𝐹:𝐸⟶ℂ)
ftc2re.1 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℂ))
Assertion
Ref Expression
ftc2re (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝑡,𝐹   𝜑,𝑡
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑡)   𝐷(𝑡)   𝐸(𝑡)

Proof of Theorem ftc2re
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftc2re.e . . . . . 6 𝐸 = (𝐶(,)𝐷)
2 ioossre 12273 . . . . . 6 (𝐶(,)𝐷) ⊆ ℝ
31, 2eqsstri 3668 . . . . 5 𝐸 ⊆ ℝ
43a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐸 ⊆ ℝ)
5 ftc2re.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐸)
64, 5sseldd 3637 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
7 ftc2re.b . . . 4 (𝜑𝐵𝐸)
84, 7sseldd 3637 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
9 ftc2re.le . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
10 ax-resscn 10031 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
1110a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
12 ftc2re.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐸⟶ℂ)
13 iccssre 12293 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
146, 8, 13syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
15 eqid 2651 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
1615tgioo2 22653 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
1715, 16dvres 23720 . . . . . 6 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐸⟶ℂ) ∧ (𝐸 ⊆ ℝ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)) → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
1811, 12, 4, 14, 17syl22anc 1367 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
19 iccntr 22671 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
206, 8, 19syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
2120reseq2d 5428 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
2218, 21eqtrd 2685 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
23 ioossicc 12297 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
2423a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
251, 5, 7fct2relem 30803 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐸)
2624, 25sstrd 3646 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐸)
27 ftc2re.1 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℂ))
28 rescncf 22747 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐸 → ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℂ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)))
2926, 27, 28sylc 65 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
3022, 29eqeltrd 2730 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
31 ioombl 23379 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
3231a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
33 cnmbf 23471 . . . . . 6 (((𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol ∧ ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ MblFn)
3432, 29, 33syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ MblFn)
35 dmres 5454 . . . . . . 7 dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝐴(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹))
3635fveq2i 6232 . . . . . 6 (vol‘dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))) = (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹)))
37 cncff 22743 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℂ) → (ℝ D 𝐹):𝐸⟶ℂ)
3827, 37syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):𝐸⟶ℂ)
39 fdm 6089 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ D 𝐹):𝐸⟶ℂ → dom (ℝ D 𝐹) = 𝐸)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = 𝐸)
4140ineq2d 3847 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = ((𝐴(,)𝐵) ∩ 𝐸))
42 df-ss 3621 . . . . . . . . . 10 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐸 ↔ ((𝐴(,)𝐵) ∩ 𝐸) = (𝐴(,)𝐵))
4326, 42sylib 208 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∩ 𝐸) = (𝐴(,)𝐵))
4441, 43eqtrd 2685 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹)) = (𝐴(,)𝐵))
4544fveq2d 6233 . . . . . . 7 (𝜑 → (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹))) = (vol‘(𝐴(,)𝐵)))
46 volioo 23383 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵𝐴))
476, 8, 9, 46syl3anc 1366 . . . . . . . 8 (𝜑 → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵𝐴))
488, 6resubcld 10496 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
4947, 48eqeltrd 2730 . . . . . . 7 (𝜑 → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
5045, 49eqeltrd 2730 . . . . . 6 (𝜑 → (vol‘((𝐴(,)𝐵) ∩ dom (ℝ D 𝐹))) ∈ ℝ)
5136, 50syl5eqel 2734 . . . . 5 (𝜑 → (vol‘dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))) ∈ ℝ)
52 rescncf 22747 . . . . . . . . 9 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐸 → ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℂ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
5325, 52syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ∈ (𝐸cn→ℂ) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
5427, 53mpd 15 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
55 cniccbdd 23276 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥)
566, 8, 54, 55syl3anc 1366 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥)
5735, 44syl5eq 2697 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
5857, 24eqsstrd 3672 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
59 ssralv 3699 . . . . . . . . . 10 (dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥 → ∀𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥))
6058, 59syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥 → ∀𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥))
6160adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥 → ∀𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥))
6258adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
6362sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
64 fvres 6245 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
66 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
6757ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))) → dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
6866, 67eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
69 fvres 6245 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑦) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑦))
7165, 70eqtr4d 2688 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑦))
7271fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))) → (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) = (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑦)))
7372breq1d 4695 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))) → ((abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥 ↔ (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥))
7473biimpd 219 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))) → ((abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥 → (abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥))
7574ralimdva 2991 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥 → ∀𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥))
7661, 75syld 47 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥 → ∀𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥))
7776reximdva 3046 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥))
7856, 77mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥)
79 bddibl 23651 . . . . 5 ((((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ MblFn ∧ (vol‘dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))(abs‘(((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑦)) ≤ 𝑥) → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ 𝐿1)
8034, 51, 78, 79syl3anc 1366 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ 𝐿1)
8122, 80eqeltrd 2730 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))) ∈ 𝐿1)
82 dvcn 23729 . . . . 5 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐸⟶ℂ ∧ 𝐸 ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D 𝐹) = 𝐸) → 𝐹 ∈ (𝐸cn→ℂ))
8311, 12, 4, 40, 82syl31anc 1369 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐸cn→ℂ))
84 rescncf 22747 . . . . 5 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐸 → (𝐹 ∈ (𝐸cn→ℂ) → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
8525, 84syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐸cn→ℂ) → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
8683, 85mpd 15 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
876, 8, 9, 30, 81, 86ftc2 23852 . 2 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑡) d𝑡 = (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)))
8822fveq1d 6231 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑡) = (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑡))
89 fvres 6245 . . . . 5 (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (((ℝ D 𝐹) ↾ (𝐴(,)𝐵))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
9088, 89sylan9eq 2705 . . . 4 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
9190ralrimiva 2995 . . 3 (𝜑 → ∀𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡))
92 itgeq2 23589 . . 3 (∀𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑡) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑡) → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)
9391, 92syl 17 . 2 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)))‘𝑡) d𝑡 = ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡)
946rexrd 10127 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
958rexrd 10127 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
96 ubicc2 12327 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
9794, 95, 9, 96syl3anc 1366 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
9897fvresd 6246 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) = (𝐹𝐵))
99 lbicc2 12326 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
10094, 95, 9, 99syl3anc 1366 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
101100fvresd 6246 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴) = (𝐹𝐴))
10298, 101oveq12d 6708 . 2 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐵) − ((𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵))‘𝐴)) = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
10387, 93, 1023eqtr3d 2693 1 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑡) d𝑡 = ((𝐹𝐵) − (𝐹𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  cin 3606  wss 3607   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  ran crn 5144  cres 5145  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  *cxr 10111  cle 10113  cmin 10304  (,)cioo 12213  [,]cicc 12216  abscabs 14018  TopOpenctopn 16129  topGenctg 16145  fldccnfld 19794  intcnt 20869  cnccncf 22726  volcvol 23278  MblFncmbf 23428  𝐿1cibl 23431  citg 23432   D cdv 23672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434  df-itg2 23435  df-ibl 23436  df-itg 23437  df-0p 23482  df-limc 23675  df-dv 23676
This theorem is referenced by:  fdvposlt  30805  fdvposle  30807  itgexpif  30812
  Copyright terms: Public domain W3C validator