Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fthres2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fthres2b 16811
 Description: Condition for a faithful functor to also be a faithful functor into the restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fthres2b.a 𝐴 = (Base‘𝐶)
fthres2b.h 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
fthres2b.r (𝜑𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷))
fthres2b.s (𝜑𝑅 Fn (𝑆 × 𝑆))
fthres2b.1 (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
fthres2b.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥𝐺𝑦):𝑌⟶((𝐹𝑥)𝑅(𝐹𝑦)))
Assertion
Ref Expression
fthres2b (𝜑 → (𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺𝐹(𝐶 Faith (𝐷cat 𝑅))𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝑥,𝐻,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fthres2b
StepHypRef Expression
1 fthres2b.a . . . 4 𝐴 = (Base‘𝐶)
2 fthres2b.h . . . 4 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
3 fthres2b.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ (Subcat‘𝐷))
4 fthres2b.s . . . 4 (𝜑𝑅 Fn (𝑆 × 𝑆))
5 fthres2b.1 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴𝑆)
6 fthres2b.2 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴)) → (𝑥𝐺𝑦):𝑌⟶((𝐹𝑥)𝑅(𝐹𝑦)))
71, 2, 3, 4, 5, 6funcres2b 16778 . . 3 (𝜑 → (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺𝐹(𝐶 Func (𝐷cat 𝑅))𝐺))
87anbi1d 743 . 2 (𝜑 → ((𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 Fun (𝑥𝐺𝑦)) ↔ (𝐹(𝐶 Func (𝐷cat 𝑅))𝐺 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 Fun (𝑥𝐺𝑦))))
91isfth 16795 . 2 (𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 Fun (𝑥𝐺𝑦)))
101isfth 16795 . 2 (𝐹(𝐶 Faith (𝐷cat 𝑅))𝐺 ↔ (𝐹(𝐶 Func (𝐷cat 𝑅))𝐺 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 Fun (𝑥𝐺𝑦)))
118, 9, 103bitr4g 303 1 (𝜑 → (𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺𝐹(𝐶 Faith (𝐷cat 𝑅))𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050   class class class wbr 4804   × cxp 5264  ◡ccnv 5265  Fun wfun 6043   Fn wfn 6044  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  Hom chom 16174   ↾cat cresc 16689  Subcatcsubc 16690   Func cfunc 16735   Faith cfth 16784 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-hom 16188  df-cco 16189  df-cat 16550  df-cid 16551  df-homf 16552  df-ssc 16691  df-resc 16692  df-subc 16693  df-func 16739  df-fth 16786 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator