MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fuchom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fuchom 16390
Description: The morphisms in the functor category are natural transformations. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fucbas.q 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
fuchom.n 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
Assertion
Ref Expression
fuchom 𝑁 = (Hom ‘𝑄)

Proof of Theorem fuchom
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑔 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fucbas.q . . . . 5 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
2 eqid 2609 . . . . 5 (𝐶 Func 𝐷) = (𝐶 Func 𝐷)
3 fuchom.n . . . . 5 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
4 eqid 2609 . . . . 5 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5 eqid 2609 . . . . 5 (comp‘𝐷) = (comp‘𝐷)
6 simpl 471 . . . . 5 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝐶 ∈ Cat)
7 simpr 475 . . . . 5 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝐷 ∈ Cat)
8 eqid 2609 . . . . . 6 (comp‘𝑄) = (comp‘𝑄)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8fuccofval 16388 . . . . 5 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (comp‘𝑄) = (𝑣 ∈ ((𝐶 Func 𝐷) × (𝐶 Func 𝐷)), ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ (1st𝑣) / 𝑓(2nd𝑣) / 𝑔(𝑏 ∈ (𝑔𝑁), 𝑎 ∈ (𝑓𝑁𝑔) ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ ((𝑏𝑥)(⟨((1st𝑓)‘𝑥), ((1st𝑔)‘𝑥)⟩(comp‘𝐷)((1st)‘𝑥))(𝑎𝑥))))))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9fucval 16387 . . . 4 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑄 = {⟨(Base‘ndx), (𝐶 Func 𝐷)⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝑁⟩, ⟨(comp‘ndx), (comp‘𝑄)⟩})
11 catstr 16386 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), (𝐶 Func 𝐷)⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝑁⟩, ⟨(comp‘ndx), (comp‘𝑄)⟩} Struct ⟨1, 15⟩
12 homid 15844 . . . 4 Hom = Slot (Hom ‘ndx)
13 snsstp2 4287 . . . 4 {⟨(Hom ‘ndx), 𝑁⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), (𝐶 Func 𝐷)⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝑁⟩, ⟨(comp‘ndx), (comp‘𝑄)⟩}
14 ovex 6555 . . . . . 6 (𝐶 Nat 𝐷) ∈ V
153, 14eqeltri 2683 . . . . 5 𝑁 ∈ V
1615a1i 11 . . . 4 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑁 ∈ V)
17 eqid 2609 . . . 4 (Hom ‘𝑄) = (Hom ‘𝑄)
1810, 11, 12, 13, 16, 17strfv3 15682 . . 3 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (Hom ‘𝑄) = 𝑁)
1918eqcomd 2615 . 2 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑁 = (Hom ‘𝑄))
20 df-hom 15739 . . . 4 Hom = Slot 14
2120str0 15685 . . 3 ∅ = (Hom ‘∅)
223natffn 16378 . . . . 5 𝑁 Fn ((𝐶 Func 𝐷) × (𝐶 Func 𝐷))
23 funcrcl 16292 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
2423con3i 148 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → ¬ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
2524eq0rdv 3930 . . . . . . . 8 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝐶 Func 𝐷) = ∅)
2625xpeq2d 5053 . . . . . . 7 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → ((𝐶 Func 𝐷) × (𝐶 Func 𝐷)) = ((𝐶 Func 𝐷) × ∅))
27 xp0 5457 . . . . . . 7 ((𝐶 Func 𝐷) × ∅) = ∅
2826, 27syl6eq 2659 . . . . . 6 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → ((𝐶 Func 𝐷) × (𝐶 Func 𝐷)) = ∅)
2928fneq2d 5882 . . . . 5 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝑁 Fn ((𝐶 Func 𝐷) × (𝐶 Func 𝐷)) ↔ 𝑁 Fn ∅))
3022, 29mpbii 221 . . . 4 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑁 Fn ∅)
31 fn0 5910 . . . 4 (𝑁 Fn ∅ ↔ 𝑁 = ∅)
3230, 31sylib 206 . . 3 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑁 = ∅)
33 fnfuc 16374 . . . . . . 7 FuncCat Fn (Cat × Cat)
34 fndm 5890 . . . . . . 7 ( FuncCat Fn (Cat × Cat) → dom FuncCat = (Cat × Cat))
3533, 34ax-mp 5 . . . . . 6 dom FuncCat = (Cat × Cat)
3635ndmov 6693 . . . . 5 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝐶 FuncCat 𝐷) = ∅)
371, 36syl5eq 2655 . . . 4 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑄 = ∅)
3837fveq2d 6092 . . 3 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (Hom ‘𝑄) = (Hom ‘∅))
3921, 32, 383eqtr4a 2669 . 2 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑁 = (Hom ‘𝑄))
4019, 39pm2.61i 174 1 𝑁 = (Hom ‘𝑄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172  c0 3873  {ctp 4128  cop 4130   × cxp 5026  dom cdm 5028   Fn wfn 5785  cfv 5790  (class class class)co 6527  1c1 9793  4c4 10919  5c5 10920  cdc 11325  ndxcnx 15638  Basecbs 15641  Hom chom 15725  compcco 15726  Catccat 16094   Func cfunc 16283   Nat cnat 16370   FuncCat cfuc 16371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-fz 12153  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-hom 15739  df-cco 15740  df-func 16287  df-nat 16372  df-fuc 16373
This theorem is referenced by:  fuccatid  16398  fucsect  16401  fuciso  16404  evlfcllem  16630  evlfcl  16631  curfcl  16641  uncf2  16646  curfuncf  16647  diag2cl  16655  curf2ndf  16656  yonedalem21  16682  yonedalem22  16687  yonedalem3b  16688  yonedalem3  16689  yonffthlem  16691
  Copyright terms: Public domain W3C validator