Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fuchom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fuchom 16668
 Description: The morphisms in the functor category are natural transformations. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fucbas.q 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
fuchom.n 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
Assertion
Ref Expression
fuchom 𝑁 = (Hom ‘𝑄)

Proof of Theorem fuchom
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑓 𝑔 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fucbas.q . . . . 5 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
2 eqid 2651 . . . . 5 (𝐶 Func 𝐷) = (𝐶 Func 𝐷)
3 fuchom.n . . . . 5 𝑁 = (𝐶 Nat 𝐷)
4 eqid 2651 . . . . 5 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5 eqid 2651 . . . . 5 (comp‘𝐷) = (comp‘𝐷)
6 simpl 472 . . . . 5 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝐶 ∈ Cat)
7 simpr 476 . . . . 5 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝐷 ∈ Cat)
8 eqid 2651 . . . . . 6 (comp‘𝑄) = (comp‘𝑄)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8fuccofval 16666 . . . . 5 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (comp‘𝑄) = (𝑣 ∈ ((𝐶 Func 𝐷) × (𝐶 Func 𝐷)), ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ (1st𝑣) / 𝑓(2nd𝑣) / 𝑔(𝑏 ∈ (𝑔𝑁), 𝑎 ∈ (𝑓𝑁𝑔) ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ↦ ((𝑏𝑥)(⟨((1st𝑓)‘𝑥), ((1st𝑔)‘𝑥)⟩(comp‘𝐷)((1st)‘𝑥))(𝑎𝑥))))))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9fucval 16665 . . . 4 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑄 = {⟨(Base‘ndx), (𝐶 Func 𝐷)⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝑁⟩, ⟨(comp‘ndx), (comp‘𝑄)⟩})
11 catstr 16664 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), (𝐶 Func 𝐷)⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝑁⟩, ⟨(comp‘ndx), (comp‘𝑄)⟩} Struct ⟨1, 15⟩
12 homid 16122 . . . 4 Hom = Slot (Hom ‘ndx)
13 snsstp2 4380 . . . 4 {⟨(Hom ‘ndx), 𝑁⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), (𝐶 Func 𝐷)⟩, ⟨(Hom ‘ndx), 𝑁⟩, ⟨(comp‘ndx), (comp‘𝑄)⟩}
14 ovex 6718 . . . . . 6 (𝐶 Nat 𝐷) ∈ V
153, 14eqeltri 2726 . . . . 5 𝑁 ∈ V
1615a1i 11 . . . 4 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑁 ∈ V)
17 eqid 2651 . . . 4 (Hom ‘𝑄) = (Hom ‘𝑄)
1810, 11, 12, 13, 16, 17strfv3 15955 . . 3 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (Hom ‘𝑄) = 𝑁)
1918eqcomd 2657 . 2 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑁 = (Hom ‘𝑄))
20 df-hom 16013 . . . 4 Hom = Slot 14
2120str0 15958 . . 3 ∅ = (Hom ‘∅)
223natffn 16656 . . . . 5 𝑁 Fn ((𝐶 Func 𝐷) × (𝐶 Func 𝐷))
23 funcrcl 16570 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
2423con3i 150 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → ¬ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
2524eq0rdv 4012 . . . . . . . 8 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝐶 Func 𝐷) = ∅)
2625xpeq2d 5173 . . . . . . 7 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → ((𝐶 Func 𝐷) × (𝐶 Func 𝐷)) = ((𝐶 Func 𝐷) × ∅))
27 xp0 5587 . . . . . . 7 ((𝐶 Func 𝐷) × ∅) = ∅
2826, 27syl6eq 2701 . . . . . 6 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → ((𝐶 Func 𝐷) × (𝐶 Func 𝐷)) = ∅)
2928fneq2d 6020 . . . . 5 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝑁 Fn ((𝐶 Func 𝐷) × (𝐶 Func 𝐷)) ↔ 𝑁 Fn ∅))
3022, 29mpbii 223 . . . 4 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑁 Fn ∅)
31 fn0 6049 . . . 4 (𝑁 Fn ∅ ↔ 𝑁 = ∅)
3230, 31sylib 208 . . 3 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑁 = ∅)
33 fnfuc 16652 . . . . . . 7 FuncCat Fn (Cat × Cat)
34 fndm 6028 . . . . . . 7 ( FuncCat Fn (Cat × Cat) → dom FuncCat = (Cat × Cat))
3533, 34ax-mp 5 . . . . . 6 dom FuncCat = (Cat × Cat)
3635ndmov 6860 . . . . 5 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (𝐶 FuncCat 𝐷) = ∅)
371, 36syl5eq 2697 . . . 4 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑄 = ∅)
3837fveq2d 6233 . . 3 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → (Hom ‘𝑄) = (Hom ‘∅))
3921, 32, 383eqtr4a 2711 . 2 (¬ (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat) → 𝑁 = (Hom ‘𝑄))
4019, 39pm2.61i 176 1 𝑁 = (Hom ‘𝑄)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231  ∅c0 3948  {ctp 4214  ⟨cop 4216   × cxp 5141  dom cdm 5143   Fn wfn 5921  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  1c1 9975  4c4 11110  5c5 11111  ;cdc 11531  ndxcnx 15901  Basecbs 15904  Hom chom 15999  compcco 16000  Catccat 16372   Func cfunc 16561   Nat cnat 16648   FuncCat cfuc 16649 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-hom 16013  df-cco 16014  df-func 16565  df-nat 16650  df-fuc 16651 This theorem is referenced by:  fuccatid  16676  fucsect  16679  fuciso  16682  evlfcllem  16908  evlfcl  16909  curfcl  16919  uncf2  16924  curfuncf  16925  diag2cl  16933  curf2ndf  16934  yonedalem21  16960  yonedalem22  16965  yonedalem3b  16966  yonedalem3  16967  yonffthlem  16969
 Copyright terms: Public domain W3C validator