Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fulloppc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fulloppc 16783
 Description: The opposite functor of a full functor is also full. Proposition 3.43(d) in [Adamek] p. 39. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fulloppc.o 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
fulloppc.p 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
fulloppc.f (𝜑𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺)
Assertion
Ref Expression
fulloppc (𝜑𝐹(𝑂 Full 𝑃)tpos 𝐺)

Proof of Theorem fulloppc
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fulloppc.o . . 3 𝑂 = (oppCat‘𝐶)
2 fulloppc.p . . 3 𝑃 = (oppCat‘𝐷)
3 fulloppc.f . . . 4 (𝜑𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺)
4 fullfunc 16767 . . . . 5 (𝐶 Full 𝐷) ⊆ (𝐶 Func 𝐷)
54ssbri 4849 . . . 4 (𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
63, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
71, 2, 6funcoppc 16736 . 2 (𝜑𝐹(𝑂 Func 𝑃)tpos 𝐺)
8 eqid 2760 . . . . . 6 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
9 eqid 2760 . . . . . 6 (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
10 eqid 2760 . . . . . 6 (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
113adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺)
12 simprr 813 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))
13 simprl 811 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐶))
148, 9, 10, 11, 12, 13fullfo 16773 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → (𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)–onto→((𝐹𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹𝑥)))
15 forn 6279 . . . . 5 ((𝑦𝐺𝑥):(𝑦(Hom ‘𝐶)𝑥)–onto→((𝐹𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹𝑥)) → ran (𝑦𝐺𝑥) = ((𝐹𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹𝑥)))
1614, 15syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → ran (𝑦𝐺𝑥) = ((𝐹𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹𝑥)))
17 ovtpos 7536 . . . . 5 (𝑥tpos 𝐺𝑦) = (𝑦𝐺𝑥)
1817rneqi 5507 . . . 4 ran (𝑥tpos 𝐺𝑦) = ran (𝑦𝐺𝑥)
199, 2oppchom 16576 . . . 4 ((𝐹𝑥)(Hom ‘𝑃)(𝐹𝑦)) = ((𝐹𝑦)(Hom ‘𝐷)(𝐹𝑥))
2016, 18, 193eqtr4g 2819 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐶))) → ran (𝑥tpos 𝐺𝑦) = ((𝐹𝑥)(Hom ‘𝑃)(𝐹𝑦)))
2120ralrimivva 3109 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)ran (𝑥tpos 𝐺𝑦) = ((𝐹𝑥)(Hom ‘𝑃)(𝐹𝑦)))
221, 8oppcbas 16579 . . 3 (Base‘𝐶) = (Base‘𝑂)
23 eqid 2760 . . 3 (Hom ‘𝑃) = (Hom ‘𝑃)
2422, 23isfull 16771 . 2 (𝐹(𝑂 Full 𝑃)tpos 𝐺 ↔ (𝐹(𝑂 Func 𝑃)tpos 𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐶)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐶)ran (𝑥tpos 𝐺𝑦) = ((𝐹𝑥)(Hom ‘𝑃)(𝐹𝑦))))
257, 21, 24sylanbrc 701 1 (𝜑𝐹(𝑂 Full 𝑃)tpos 𝐺)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050   class class class wbr 4804  ran crn 5267  –onto→wfo 6047  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  tpos ctpos 7520  Basecbs 16059  Hom chom 16154  oppCatcoppc 16572   Func cfunc 16715   Full cful 16763 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-tpos 7521  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-map 8025  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-hom 16168  df-cco 16169  df-cat 16530  df-cid 16531  df-oppc 16573  df-func 16719  df-full 16765 This theorem is referenced by:  ffthoppc  16785
 Copyright terms: Public domain W3C validator