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Theorem fun11iun 7073
Description: The union of a chain (with respect to inclusion) of one-to-one functions is a one-to-one function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fun11iun.1 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝐶)
fun11iun.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
fun11iun (∀𝑥𝐴 (𝐵:𝐷1-1𝑆 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐵𝐶𝐶𝐵)) → 𝑥𝐴 𝐵: 𝑥𝐴 𝐷1-1𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑦)   𝐷(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem fun11iun
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3189 . . . . . . . . . 10 𝑢 ∈ V
2 eqeq1 2625 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑢 → (𝑧 = 𝐵𝑢 = 𝐵))
32rexbidv 3045 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑢 → (∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑢 = 𝐵))
41, 3elab 3333 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} ↔ ∃𝑥𝐴 𝑢 = 𝐵)
5 r19.29 3065 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥𝐴 (𝐵:𝐷1-1𝑆 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐵𝐶𝐶𝐵)) ∧ ∃𝑥𝐴 𝑢 = 𝐵) → ∃𝑥𝐴 ((𝐵:𝐷1-1𝑆 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐵𝐶𝐶𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝐵))
6 nfv 1840 . . . . . . . . . . . 12 𝑥(Fun 𝑢 ∧ Fun 𝑢)
7 nfre1 2999 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵
87nfab 2765 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥{𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}
9 nfv 1840 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝑢𝑣𝑣𝑢)
108, 9nfral 2940 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑣 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} (𝑢𝑣𝑣𝑢)
116, 10nfan 1825 . . . . . . . . . . 11 𝑥((Fun 𝑢 ∧ Fun 𝑢) ∧ ∀𝑣 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} (𝑢𝑣𝑣𝑢))
12 f1eq1 6053 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 = 𝐵 → (𝑢:𝐷1-1𝑆𝐵:𝐷1-1𝑆))
1312biimparc 504 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵:𝐷1-1𝑆𝑢 = 𝐵) → 𝑢:𝐷1-1𝑆)
14 df-f1 5852 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢:𝐷1-1𝑆 ↔ (𝑢:𝐷𝑆 ∧ Fun 𝑢))
15 ffun 6005 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢:𝐷𝑆 → Fun 𝑢)
1615anim1i 591 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢:𝐷𝑆 ∧ Fun 𝑢) → (Fun 𝑢 ∧ Fun 𝑢))
1714, 16sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢:𝐷1-1𝑆 → (Fun 𝑢 ∧ Fun 𝑢))
1813, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵:𝐷1-1𝑆𝑢 = 𝐵) → (Fun 𝑢 ∧ Fun 𝑢))
1918adantlr 750 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵:𝐷1-1𝑆 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐵𝐶𝐶𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝐵) → (Fun 𝑢 ∧ Fun 𝑢))
20 vex 3189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑣 ∈ V
21 eqeq1 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑣 → (𝑧 = 𝐵𝑣 = 𝐵))
2221rexbidv 3045 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑣 → (∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑣 = 𝐵))
2320, 22elab 3333 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} ↔ ∃𝑥𝐴 𝑣 = 𝐵)
24 fun11iun.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝐶)
2524eqeq2d 2631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → (𝑣 = 𝐵𝑣 = 𝐶))
2625cbvrexv 3160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑥𝐴 𝑣 = 𝐵 ↔ ∃𝑦𝐴 𝑣 = 𝐶)
27 r19.29 3065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑦𝐴 (𝐵𝐶𝐶𝐵) ∧ ∃𝑦𝐴 𝑣 = 𝐶) → ∃𝑦𝐴 ((𝐵𝐶𝐶𝐵) ∧ 𝑣 = 𝐶))
28 sseq12 3607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑢 = 𝐵𝑣 = 𝐶) → (𝑢𝑣𝐵𝐶))
2928ancoms 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑣 = 𝐶𝑢 = 𝐵) → (𝑢𝑣𝐵𝐶))
30 sseq12 3607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑣 = 𝐶𝑢 = 𝐵) → (𝑣𝑢𝐶𝐵))
3129, 30orbi12d 745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑣 = 𝐶𝑢 = 𝐵) → ((𝑢𝑣𝑣𝑢) ↔ (𝐵𝐶𝐶𝐵)))
3231biimprcd 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐵𝐶𝐶𝐵) → ((𝑣 = 𝐶𝑢 = 𝐵) → (𝑢𝑣𝑣𝑢)))
3332expdimp 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐵𝐶𝐶𝐵) ∧ 𝑣 = 𝐶) → (𝑢 = 𝐵 → (𝑢𝑣𝑣𝑢)))
3433rexlimivw 3022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∃𝑦𝐴 ((𝐵𝐶𝐶𝐵) ∧ 𝑣 = 𝐶) → (𝑢 = 𝐵 → (𝑢𝑣𝑣𝑢)))
3534imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∃𝑦𝐴 ((𝐵𝐶𝐶𝐵) ∧ 𝑣 = 𝐶) ∧ 𝑢 = 𝐵) → (𝑢𝑣𝑣𝑢))
3627, 35sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((∀𝑦𝐴 (𝐵𝐶𝐶𝐵) ∧ ∃𝑦𝐴 𝑣 = 𝐶) ∧ 𝑢 = 𝐵) → (𝑢𝑣𝑣𝑢))
3736an32s 845 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((∀𝑦𝐴 (𝐵𝐶𝐶𝐵) ∧ 𝑢 = 𝐵) ∧ ∃𝑦𝐴 𝑣 = 𝐶) → (𝑢𝑣𝑣𝑢))
3837adantlll 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐵:𝐷1-1𝑆 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐵𝐶𝐶𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝐵) ∧ ∃𝑦𝐴 𝑣 = 𝐶) → (𝑢𝑣𝑣𝑢))
3926, 38sylan2b 492 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐵:𝐷1-1𝑆 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐵𝐶𝐶𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝐵) ∧ ∃𝑥𝐴 𝑣 = 𝐵) → (𝑢𝑣𝑣𝑢))
4023, 39sylan2b 492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵:𝐷1-1𝑆 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐵𝐶𝐶𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝐵) ∧ 𝑣 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}) → (𝑢𝑣𝑣𝑢))
4140ralrimiva 2960 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵:𝐷1-1𝑆 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐵𝐶𝐶𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝐵) → ∀𝑣 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} (𝑢𝑣𝑣𝑢))
4219, 41jca 554 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵:𝐷1-1𝑆 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐵𝐶𝐶𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝐵) → ((Fun 𝑢 ∧ Fun 𝑢) ∧ ∀𝑣 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} (𝑢𝑣𝑣𝑢)))
4342a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐴 → (((𝐵:𝐷1-1𝑆 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐵𝐶𝐶𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝐵) → ((Fun 𝑢 ∧ Fun 𝑢) ∧ ∀𝑣 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} (𝑢𝑣𝑣𝑢))))
4411, 43rexlimi 3017 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥𝐴 ((𝐵:𝐷1-1𝑆 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐵𝐶𝐶𝐵)) ∧ 𝑢 = 𝐵) → ((Fun 𝑢 ∧ Fun 𝑢) ∧ ∀𝑣 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} (𝑢𝑣𝑣𝑢)))
455, 44syl 17 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥𝐴 (𝐵:𝐷1-1𝑆 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐵𝐶𝐶𝐵)) ∧ ∃𝑥𝐴 𝑢 = 𝐵) → ((Fun 𝑢 ∧ Fun 𝑢) ∧ ∀𝑣 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} (𝑢𝑣𝑣𝑢)))
464, 45sylan2b 492 . . . . . . . 8 ((∀𝑥𝐴 (𝐵:𝐷1-1𝑆 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐵𝐶𝐶𝐵)) ∧ 𝑢 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}) → ((Fun 𝑢 ∧ Fun 𝑢) ∧ ∀𝑣 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} (𝑢𝑣𝑣𝑢)))
4746ralrimiva 2960 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐴 (𝐵:𝐷1-1𝑆 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐵𝐶𝐶𝐵)) → ∀𝑢 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} ((Fun 𝑢 ∧ Fun 𝑢) ∧ ∀𝑣 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} (𝑢𝑣𝑣𝑢)))
48 fun11uni 7067 . . . . . . 7 (∀𝑢 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} ((Fun 𝑢 ∧ Fun 𝑢) ∧ ∀𝑣 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} (𝑢𝑣𝑣𝑢)) → (Fun {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} ∧ Fun {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}))
4947, 48syl 17 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 (𝐵:𝐷1-1𝑆 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐵𝐶𝐶𝐵)) → (Fun {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵} ∧ Fun {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}))
5049simpld 475 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 (𝐵:𝐷1-1𝑆 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐵𝐶𝐶𝐵)) → Fun {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵})
51 fun11iun.2 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
5251dfiun2 4520 . . . . . 6 𝑥𝐴 𝐵 = {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}
5352funeqi 5868 . . . . 5 (Fun 𝑥𝐴 𝐵 ↔ Fun {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵})
5450, 53sylibr 224 . . . 4 (∀𝑥𝐴 (𝐵:𝐷1-1𝑆 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐵𝐶𝐶𝐵)) → Fun 𝑥𝐴 𝐵)
55 nfra1 2936 . . . . . . 7 𝑥𝑥𝐴 (𝐵:𝐷1-1𝑆 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐵𝐶𝐶𝐵))
56 rsp 2924 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐴 (𝐵:𝐷1-1𝑆 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐵𝐶𝐶𝐵)) → (𝑥𝐴 → (𝐵:𝐷1-1𝑆 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐵𝐶𝐶𝐵))))
571eldm2 5282 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ dom 𝐵 ↔ ∃𝑣𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝐵)
58 f1dm 6062 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵:𝐷1-1𝑆 → dom 𝐵 = 𝐷)
5958eleq2d 2684 . . . . . . . . . . 11 (𝐵:𝐷1-1𝑆 → (𝑢 ∈ dom 𝐵𝑢𝐷))
6057, 59syl5bbr 274 . . . . . . . . . 10 (𝐵:𝐷1-1𝑆 → (∃𝑣𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝐵𝑢𝐷))
6160adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐵:𝐷1-1𝑆 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐵𝐶𝐶𝐵)) → (∃𝑣𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝐵𝑢𝐷))
6256, 61syl6 35 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐴 (𝐵:𝐷1-1𝑆 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐵𝐶𝐶𝐵)) → (𝑥𝐴 → (∃𝑣𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝐵𝑢𝐷)))
6362imp 445 . . . . . . 7 ((∀𝑥𝐴 (𝐵:𝐷1-1𝑆 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐵𝐶𝐶𝐵)) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑣𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝐵𝑢𝐷))
6455, 63rexbida 3040 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 (𝐵:𝐷1-1𝑆 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐵𝐶𝐶𝐵)) → (∃𝑥𝐴𝑣𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑢𝐷))
65 eliun 4490 . . . . . . . 8 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐴𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝐵)
6665exbii 1771 . . . . . . 7 (∃𝑣𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑣𝑥𝐴𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝐵)
671eldm2 5282 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ dom 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑣𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝑥𝐴 𝐵)
68 rexcom4 3211 . . . . . . 7 (∃𝑥𝐴𝑣𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝐵 ↔ ∃𝑣𝑥𝐴𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝐵)
6966, 67, 683bitr4i 292 . . . . . 6 (𝑢 ∈ dom 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐴𝑣𝑢, 𝑣⟩ ∈ 𝐵)
70 eliun 4490 . . . . . 6 (𝑢 𝑥𝐴 𝐷 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑢𝐷)
7164, 69, 703bitr4g 303 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 (𝐵:𝐷1-1𝑆 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐵𝐶𝐶𝐵)) → (𝑢 ∈ dom 𝑥𝐴 𝐵𝑢 𝑥𝐴 𝐷))
7271eqrdv 2619 . . . 4 (∀𝑥𝐴 (𝐵:𝐷1-1𝑆 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐵𝐶𝐶𝐵)) → dom 𝑥𝐴 𝐵 = 𝑥𝐴 𝐷)
73 df-fn 5850 . . . 4 ( 𝑥𝐴 𝐵 Fn 𝑥𝐴 𝐷 ↔ (Fun 𝑥𝐴 𝐵 ∧ dom 𝑥𝐴 𝐵 = 𝑥𝐴 𝐷))
7454, 72, 73sylanbrc 697 . . 3 (∀𝑥𝐴 (𝐵:𝐷1-1𝑆 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐵𝐶𝐶𝐵)) → 𝑥𝐴 𝐵 Fn 𝑥𝐴 𝐷)
75 rniun 5502 . . . 4 ran 𝑥𝐴 𝐵 = 𝑥𝐴 ran 𝐵
76 f1f 6058 . . . . . . . 8 (𝐵:𝐷1-1𝑆𝐵:𝐷𝑆)
77 frn 6010 . . . . . . . 8 (𝐵:𝐷𝑆 → ran 𝐵𝑆)
7876, 77syl 17 . . . . . . 7 (𝐵:𝐷1-1𝑆 → ran 𝐵𝑆)
7978adantr 481 . . . . . 6 ((𝐵:𝐷1-1𝑆 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐵𝐶𝐶𝐵)) → ran 𝐵𝑆)
8079ralimi 2947 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 (𝐵:𝐷1-1𝑆 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐵𝐶𝐶𝐵)) → ∀𝑥𝐴 ran 𝐵𝑆)
81 iunss 4527 . . . . 5 ( 𝑥𝐴 ran 𝐵𝑆 ↔ ∀𝑥𝐴 ran 𝐵𝑆)
8280, 81sylibr 224 . . . 4 (∀𝑥𝐴 (𝐵:𝐷1-1𝑆 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐵𝐶𝐶𝐵)) → 𝑥𝐴 ran 𝐵𝑆)
8375, 82syl5eqss 3628 . . 3 (∀𝑥𝐴 (𝐵:𝐷1-1𝑆 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐵𝐶𝐶𝐵)) → ran 𝑥𝐴 𝐵𝑆)
84 df-f 5851 . . 3 ( 𝑥𝐴 𝐵: 𝑥𝐴 𝐷𝑆 ↔ ( 𝑥𝐴 𝐵 Fn 𝑥𝐴 𝐷 ∧ ran 𝑥𝐴 𝐵𝑆))
8574, 83, 84sylanbrc 697 . 2 (∀𝑥𝐴 (𝐵:𝐷1-1𝑆 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐵𝐶𝐶𝐵)) → 𝑥𝐴 𝐵: 𝑥𝐴 𝐷𝑆)
8649simprd 479 . . 3 (∀𝑥𝐴 (𝐵:𝐷1-1𝑆 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐵𝐶𝐶𝐵)) → Fun {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵})
8752cnveqi 5257 . . . 4 𝑥𝐴 𝐵 = {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵}
8887funeqi 5868 . . 3 (Fun 𝑥𝐴 𝐵 ↔ Fun {𝑧 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵})
8986, 88sylibr 224 . 2 (∀𝑥𝐴 (𝐵:𝐷1-1𝑆 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐵𝐶𝐶𝐵)) → Fun 𝑥𝐴 𝐵)
90 df-f1 5852 . 2 ( 𝑥𝐴 𝐵: 𝑥𝐴 𝐷1-1𝑆 ↔ ( 𝑥𝐴 𝐵: 𝑥𝐴 𝐷𝑆 ∧ Fun 𝑥𝐴 𝐵))
9185, 89, 90sylanbrc 697 1 (∀𝑥𝐴 (𝐵:𝐷1-1𝑆 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝐵𝐶𝐶𝐵)) → 𝑥𝐴 𝐵: 𝑥𝐴 𝐷1-1𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  {cab 2607  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3186  wss 3555  cop 4154   cuni 4402   ciun 4485  ccnv 5073  dom cdm 5074  ran crn 5075  Fun wfun 5841   Fn wfn 5842  wf 5843  1-1wf1 5844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852
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