Theorem fun2 5966

Description: The union of two functions with disjoint domains. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fun2	⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐵⟶𝐶) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐹 ∪ 𝐺):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶𝐶)

Proof of Theorem fun2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fun 5965	. 2 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐵⟶𝐶) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐹 ∪ 𝐺):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶(𝐶 ∪ 𝐶))
2		unidm 3717	. . 3 ⊢ (𝐶 ∪ 𝐶) = 𝐶
3		feq3 5927	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∪ 𝐶) = 𝐶 → ((𝐹 ∪ 𝐺):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶(𝐶 ∪ 𝐶) ↔ (𝐹 ∪ 𝐺):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶𝐶))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶(𝐶 ∪ 𝐶) ↔ (𝐹 ∪ 𝐺):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶𝐶)
5	1, 4	sylib 206	1 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐵⟶𝐶) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐹 ∪ 𝐺):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 194   ∧ wa 382   = wceq 1474   ∪ cun 3537   ∩ cin 3538  ∅c0 3873  ⟶wf 5786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pr 4828

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ral 2900  df-rab 2904  df-v 3174  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-br 4578  df-opab 4638  df-id 4943  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794

This theorem is referenced by:  fresaun  5973  mapunen  7991  ac6sfi  8066  axdc3lem4  9135  fseq1p1m1  12238  axlowdimlem5  25544  axlowdimlem7  25546  uhgraun  25606  umgraun  25623  eupap1  26269  resf1o  28699  locfinref  29042  fdisjdmun  39655