MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcrcl 16292
Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
funcrcl (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))

Proof of Theorem funcrcl
Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑔 𝑚 𝑛 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-func 16287 . 2 Func = (𝑡 ∈ Cat, 𝑢 ∈ Cat ↦ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ [(Base‘𝑡) / 𝑏](𝑓:𝑏⟶(Base‘𝑢) ∧ 𝑔X𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏)(((𝑓‘(1st𝑧))(Hom ‘𝑢)(𝑓‘(2nd𝑧))) ↑𝑚 ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥𝑏 (((𝑥𝑔𝑥)‘((Id‘𝑡)‘𝑥)) = ((Id‘𝑢)‘(𝑓𝑥)) ∧ ∀𝑦𝑏𝑧𝑏𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑡)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝑡)𝑧)((𝑥𝑔𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑡)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝑔𝑧)‘𝑛)(⟨(𝑓𝑥), (𝑓𝑦)⟩(comp‘𝑢)(𝑓𝑧))((𝑥𝑔𝑦)‘𝑚))))})
21elmpt2cl 6751 1 (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  [wsbc 3401  cop 4130  {copab 4636   × cxp 5026  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  1st c1st 7034  2nd c2nd 7035  𝑚 cmap 7721  Xcixp 7771  Basecbs 15641  Hom chom 15725  compcco 15726  Catccat 16094  Idccid 16095   Func cfunc 16283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-xp 5034  df-dm 5038  df-iota 5754  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-func 16287
This theorem is referenced by:  funcf1  16295  funcixp  16296  funcid  16299  funcco  16300  funcsect  16301  funcinv  16302  funciso  16303  funcoppc  16304  cofucl  16317  cofulid  16319  cofurid  16320  funcres  16325  funcres2b  16326  funcpropd  16329  funcres2c  16330  isfull  16339  isfth  16343  fthsect  16354  fthinv  16355  fthmon  16356  fthepi  16357  ffthiso  16358  natfval  16375  fucbas  16389  fuchom  16390  fucco  16391  fuccocl  16393  fucidcl  16394  fuclid  16395  fucrid  16396  fucass  16397  fucid  16400  fucsect  16401  fucinv  16402  invfuc  16403  fuciso  16404  funcsetcres2  16512  prfcl  16612  prf1st  16613  prf2nd  16614  curf1cl  16637  curfcl  16641  uncfval  16643  uncfcl  16644  uncf1  16645  uncf2  16646  curfuncf  16647  uncfcurf  16648  yonffthlem  16691  yoneda  16692
  Copyright terms: Public domain W3C validator