Theorem funcrcl 17135

Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
funcrcl	⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))

Proof of Theorem funcrcl

Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑔 𝑚 𝑛 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-func 17130	. 2 ⊢ Func = (𝑡 ∈ Cat, 𝑢 ∈ Cat ↦ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ [(Base‘𝑡) / 𝑏](𝑓:𝑏⟶(Base‘𝑢) ∧ 𝑔 ∈ X𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏)(((𝑓‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝑢)(𝑓‘(2nd ‘𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑏 (((𝑥𝑔𝑥)‘((Id‘𝑡)‘𝑥)) = ((Id‘𝑢)‘(𝑓‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑏 ∀𝑧 ∈ 𝑏 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑡)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝑡)𝑧)((𝑥𝑔𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑡)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝑔𝑧)‘𝑛)(⟨(𝑓‘𝑥), (𝑓‘𝑦)⟩(comp‘𝑢)(𝑓‘𝑧))((𝑥𝑔𝑦)‘𝑚))))})
2	1	elmpocl 7389	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  [wsbc 3774  ⟨cop 4575  {copab 5130   × cxp 5555  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  1^st c1st 7689  2^nd c2nd 7690   ↑_m cmap 8408  Xcixp 8463  Basecbs 16485  Hom chom 16578  compcco 16579  Catccat 16937  Idccid 16938   Func cfunc 17126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-xp 5563  df-dm 5567  df-iota 6316  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-func 17130

This theorem is referenced by:  funcf1  17138  funcixp  17139  funcid  17142  funcco  17143  funcsect  17144  funcinv  17145  funciso  17146  funcoppc  17147  cofucl  17160  cofulid  17162  cofurid  17163  funcres  17168  funcres2b  17169  funcpropd  17172  funcres2c  17173  isfull  17182  isfth  17186  fthsect  17197  fthinv  17198  fthmon  17199  fthepi  17200  ffthiso  17201  natfval  17218  fucbas  17232  fuchom  17233  fucco  17234  fuccocl  17236  fucidcl  17237  fuclid  17238  fucrid  17239  fucass  17240  fucid  17243  fucsect  17244  fucinv  17245  invfuc  17246  fuciso  17247  funcsetcres2  17355  prfcl  17455  prf1st  17456  prf2nd  17457  curf1cl  17480  curfcl  17484  uncfval  17486  uncfcl  17487  uncf1  17488  uncf2  17489  curfuncf  17490  uncfcurf  17491  yonffthlem  17534  yoneda  17535