Theorem funcsetcestrclem3 17400

Description: Lemma 3 for funcsetcestrc 17408. (Contributed by AV, 27-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetcestrc.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrclem3.e	⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
funcsetcestrclem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)

Assertion

Ref	Expression
funcsetcestrclem3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem funcsetcestrclem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcsetcestrc.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
2		funcsetcestrc.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
3		funcsetcestrc.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
4		funcsetcestrc.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
5		funcsetcestrc.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
6	2, 3, 4, 5	setc1strwun 17397	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩} ∈ 𝑈)
7		funcsetcestrclem3.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
8	7, 4	estrcbas 17369	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝐸))
9	8	eqcomd 2827	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐸) = 𝑈)
10	9	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (Base‘𝐸) = 𝑈)
11	6, 10	eleqtrrd 2916	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩} ∈ (Base‘𝐸))
12		funcsetcestrclem3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐸)
13	11, 12	eleqtrrdi 2924	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩} ∈ 𝐵)
14	1, 13	fmpt3d 6875	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {csn 4561  ⟨cop 4567   ↦ cmpt 5139  ⟶wf 6346  ‘cfv 6350  ωcom 7574  WUnicwun 10116  ndxcnx 16474  Basecbs 16477  SetCatcsetc 17329  ExtStrCatcestrc 17366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-omul 8101  df-er 8283  df-ec 8285  df-qs 8289  df-map 8402  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-wun 10118  df-ni 10288  df-pli 10289  df-mi 10290  df-lti 10291  df-plpq 10324  df-mpq 10325  df-ltpq 10326  df-enq 10327  df-nq 10328  df-erq 10329  df-plq 10330  df-mq 10331  df-1nq 10332  df-rq 10333  df-ltnq 10334  df-np 10397  df-plp 10399  df-ltp 10401  df-enr 10471  df-nr 10472  df-c 10537  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12887  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-hom 16583  df-cco 16584  df-setc 17330  df-estrc 17367

This theorem is referenced by:  embedsetcestrclem  17401  funcsetcestrc  17408