MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcsetcestrclem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcsetcestrclem4 16738
Description: Lemma 4 for funcsetcestrc 16744. (Contributed by AV, 27-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
funcsetcestrc.s 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f (𝜑𝐹 = (𝑥𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u (𝜑𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g (𝜑𝐺 = (𝑥𝐶, 𝑦𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦𝑚 𝑥))))
Assertion
Ref Expression
funcsetcestrclem4 (𝜑𝐺 Fn (𝐶 × 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrclem4
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . 3 (𝑥𝐶, 𝑦𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦𝑚 𝑥))) = (𝑥𝐶, 𝑦𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦𝑚 𝑥)))
2 ovex 6643 . . . 4 (𝑦𝑚 𝑥) ∈ V
3 id 22 . . . . 5 ((𝑦𝑚 𝑥) ∈ V → (𝑦𝑚 𝑥) ∈ V)
43resiexd 6445 . . . 4 ((𝑦𝑚 𝑥) ∈ V → ( I ↾ (𝑦𝑚 𝑥)) ∈ V)
52, 4ax-mp 5 . . 3 ( I ↾ (𝑦𝑚 𝑥)) ∈ V
61, 5fnmpt2i 7199 . 2 (𝑥𝐶, 𝑦𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦𝑚 𝑥))) Fn (𝐶 × 𝐶)
7 funcsetcestrc.g . . 3 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐶, 𝑦𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦𝑚 𝑥))))
87fneq1d 5949 . 2 (𝜑 → (𝐺 Fn (𝐶 × 𝐶) ↔ (𝑥𝐶, 𝑦𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦𝑚 𝑥))) Fn (𝐶 × 𝐶)))
96, 8mpbiri 248 1 (𝜑𝐺 Fn (𝐶 × 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3190  {csn 4155  cop 4161  cmpt 4683   I cid 4994   × cxp 5082  cres 5086   Fn wfn 5852  cfv 5857  (class class class)co 6615  cmpt2 6617  ωcom 7027  𝑚 cmap 7817  WUnicwun 9482  ndxcnx 15797  Basecbs 15800  SetCatcsetc 16665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-1st 7128  df-2nd 7129
This theorem is referenced by:  funcsetcestrc  16744
  Copyright terms: Public domain W3C validator